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EXAMEN DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PRIMER PARCIAL 2005-2006 Atención: Usa bolígrafo negro o azul. Razona todas las respuestas e indica que teoremas o criterios usas. No expreses los cálculos con decimales. Cuando termines un ejercicio cambia de página (1) Pregunta de teoría: (a) (1.5 puntos) Enuncia y demuestra el Teorema del valor medio para funciones vectoriales. (b) (0.5 puntos) Expresael Teorema del valor medio para funciones vectoriales en términos de la norma euclídea. (2) Dada la función escalar: 8 2 3 < 3x y ¡ 2x (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = x2 + y 4 : 0 (x; y) = (0; 0)

de…nida en todo el plano: (a) (0.5 puntos) Estudia su continuidad. (b) (1.5 puntos) Estudia su derivada direccional en (0; 0) en las dirección dada por el vector unitario v = (cos µ; sen µ) aplicando lade…nición. (c) (1 punto) Estudia su diferenciabilidad. (3) Dada la función f 2 F (R2; R2) de…nida por: f(x; y) = (1 + sen x; arc tag y) para todo (x; y) en el plano: (a) (0.5 puntos) ¿Es f lipschitziana? (b) (1 punto) Prueba que existe un único p 2 R2 tal que f (p) = 2p: (c) (0.5 puntos) Dado cualquier número natural n ¸ 2 ¿se puede asegurar que existe un único p 2 R2 tal que f (p) = n p? (4) Clasi…calos puntos críticos de las siguientes funciones de dos variables: 2 (a) (2 puntos) f (x; y) = (x2 + y2 ) ¡ 2a 2 (x2 ¡ y2 ) (a 2 R) (sugerencia: distingue los casos a = 0 y a 6= 0): (b) (1 puntos) g(x; y) = (x ¡ y)4 + (y ¡ 1)4 :
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EXAMEN DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SEGUNDO PARCIAL 2005-2006 Atención: Usa bolígrafo negro o azul. Razona todas las respuestas e indica que teoremas ocriterios usas. No expreses los cálculos con decimales. Cuando termines un ejercicio, cambia de página (1) Enuncia y demuestra los siguientes teoremas: (a) (2 puntos) Teorema de la función implícita. (b) (1.5 puntos) Teorema de la convergencia acotada. (2) Dada la función f (x; y) = x2 ¡ 2xy + y2 de…nida en: © ª A = (x; y) 2 R2 : x2 + y2 · 2x ;

(a) (0.5 puntos) estudia la acotación, el cierre y lacompacidad de A, (b) (1.5 puntos) determina los extremos absolutos de f , si los hubiera. (3) (1.5 puntos) Calcula: ¶n Z +1 µ x n+x lim e¡ 2 dx: n!1 0 n + 2x (4) Sea la función: e ¡® x 1 + e¡¯ x para todo x 2]0; +1[ (siendo ® > 0; ¯ > 0): (a) (0.5 puntos) ¿Es f integrable? (b) (1.5 puntos) Demuestra las siguientes igualdades: Z +1 1 1 X X (¡1)n (¡1)n+1 f (x) dx = = ¯ (n ¡ 1) + ® ¯ n+® 0 n=1 n=0 f (x)= para todo ® > 0; ¯ > 0: Indicación: si 0 < jrj < 1 entonces (c) (1 punto) Deduce que: 1 X (¡1)n ¼ = 2n + 1 4 n=0
1 1+r

=

P1

n+1 n¡1 r : n=1 (¡1)

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EXAMEN DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EXAMEN FINAL 2005-2006 Atención: Usa bolígrafo negro o azul. Razona todas las respuestas e indica que teoremas o criterios usas. No expreses los cálculos con decimales. Cuando termines unejercicio cambia de página (1) Enuncia y demuestra los siguientes resultados: (a) (1.5 puntos) Carácter local de la continuidad. Teorema de Heine. (b) (1.5 puntos) Teorema fundamental del Cálculo. © ª (2) Sean A; B µ RN y A + B = a + b 2 RN : a 2 A; b 2 B : Prueba que: (a) (1 punto) si A y B son compactos, entonces A + B es compacto, (b) (0.5 puntos) si A es compacto y B es cerrado, entonces A + B escerrado: (3) Dada la función f 2 F (R2) de…nida por: 8 < y2sen x y 6= 0 y f (x; y) = : 0 y =0 y cualquier función g 2 F (R2) diferenciable en (0; 0) veri…cando que: g (0; 0) = 0; D(1;1)g (0; 0) = 1; D(¡1;1)g (0; 0) = 0: (a) (1 punto) Calcula grad g (0; 0). (b) (0.5 puntos) Estudia la diferenciabilidad en (0; 0) de la función H 2 F (R2; R2) de…nida por H = (f; g) : (c) (0.5 puntos) Calcula lamatriz jacobiana de H en (0; 0) : (4) Dada la función f (x; y; z) = 2x2 + y2 + z 2 ¡ xy de…nida en: ½ ¾ 2 y2 z 2 3 x A = (x; y; z) 2 R : + + ·1 ; 2 4 8 (a) (0.5 puntos) estudia la compacidad de A, (b) (1.5 puntos) determina los extremos absolutos de f , si los hubiera. (5) (1.5 puntos) Demuestra la siguiente igualdad: Z 1 µ ¶ 1 X xp 1 1 log dx = 2 x 0 1¡x n=0 (n + p + 1) P 1 para todo p > ¡1:...