Informatica

OBJETIVOS.

OBJETIVO GENERAL: Estudiar la regla de Cramer que permite resolver sistemas cuadradas de ecuaciones lineales usando determinantes y Comprender las diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de los métodos de descomposición geordan Gauss.

OBJETIVO ESPECIFICO: Mostrar cómo aplicar los métodos mencionados para facilitar la solución de sistemas deecuaciones, y poder así programar dichos métodos en la computadora.

Método de cramer.
Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
* El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
* El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero ( det ( A ) # 0 )
Un sistema deCramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas).
Consideremos un sistema de Cramer, es decir, un sistema de  n  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

Sean  A  la matriz del sistema (matriz de los coeficientes), entonces  det (A) # 0.  Llamaremos matriz asociada a laincógnita  xi  y la designaremos por  Ai  a la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna  i  por la matriz columna de los términos independientes. Es decir:

Método de gaus.

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matricesinversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertirdicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matrizidentidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
* d1 = x
* d2 = y
* d3 = z
Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso laresolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
* Sea el sistema de ecuaciones:

* Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

* Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matrizidentidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

* Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

* Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos elopuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto...