Ing. De Sistemas

UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE




ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS



SEMSTRE III



GRUPO FD



INTEGRANTES:



RICARDO MARIN

MIGUEL DE LA HOZ

JOSE FIGUEROA



MATEMATICAS III



PLANOS TANGENTE, RECTAS NORMALES, MAXIMOS Y MINIMOS



DOCENTE:



ALIRIO MORALES





BARRANQUILLA - ATLANTICO

2012



Plano tangente y recta normal a unasuperficie.
Hemos visto muchos ejemplos de la utilidad de las rectas normales en aplicaciones con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes en el análisis de superficies y sólidos. Por ejemplo, consideremos la colisión de dos bolas de billar. Cuando se le da el golpe a una bola detenida, en un punto P de su superficie, esta se mueve en la recta de impacto determinada por P y el centro de labola. El impacto puede suceder de dos maneras. Si la bola lanzada se mueve en la recta de impacto, esta se para en seco y cede todo su momento a la bola detenida, como se muestra en la figura 6.1. Este tipo de disparo requiere precisión, ya que la recta de impacto debe coincidir exactamente con la dirección de la bola lanzada. Frecuentemente, la bola lanzada se desvía a un lado u otro, reteniendoparte de su momento. La parte de momento que se trasmite a la bola detenida siempre se orienta sobre la línea de impacto, con independencia de la dirección de la bola lanzada, como se indica en la figura 6.2. Llamamos a esta recta de impacto, recta normal a la superficie de la bola en el punto P.
[pic]
Figura 6.1
[pic]
Figura 6.2
En el proceso de encontrar una recta normal a una superficie,se nos da la posibilidad de resolver el problema de encontrar un plano tangente a la superficie. Sea S una superficie dada por F(x,y,z)=0, y sea P(x0,y0,z0) un punto sobre S. Sea C una curva en S que pasa por el punto P y que se define mediante la función vectorial
[pic]
Entonces, para todo t,
[pic]
Si F es diferenciable y existen x'(t), y’ (t) y z'(t), por la regla de la cadena resulta que[pic]
En (x0,y0,z0) la forma vectorial equivalente es
[pic]= (gradiente). (Vector tangente)
Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente a cualquier curva sobre S que pase por P. Por lo tanto, todas las rectas tangentes en P están en un plano que es normal a [pic]y contiene a P, como se ve en la figura 6.3. Llamamos a este plano, plano tangente a S en P, y a larecta que pasa por P en la dirección de [pic]recta normal a S en P.
[pic]
Figura 6.3
Plano tangente a la superficie S en P




Definición 6.1
|Sea F diferenciable en el punto P(x0,y0,z0) de la superficie S dada por F(x, y,z)=0, con[pic]. |
|1) El plano que pasa por P y es normal a [pic]se conoce como el plano tangente a S en P.|
|2) La recta que pasa por P y tiene la dirección de [pic]se conoce como la recta normal a S en P. |


Para hallar la ecuación del plano tangente a S en (x0,y0,z0), hacemos que (x,y,z) sea un punto arbitrario del plano tangente. Entonces el vector
u=(x-x0) i+ (y-y0) j+ (z-z0) k
Pertenece al plano tangente. Como [pic]es normal alplano en (x0,y0,z0), debe ser ortogonal a cada vector del plano tangente y tenemos
[pic]. u = 0
Lo cual nos conduce al resultado del siguiente teorema.
Teorema 6.1
|Si F es diferenciable en (x0,y0,z0), una ecuación del plano tangente a la superficie dada por F(x,y,z)=0 en P(x0,y0,z0) es |
|[pic]|


Ejemplo 6.1
Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
[pic]
En el punto (1,-1,4)
Solución
Considerando [pic]tenemos
[pic]
y en el punto (1,-1,4) las derivadas parciales son
[pic]
Luego una ecuación del plano tangente en (1,-1,4) es
[pic]
La figura 6.4 muestra una parte del hiperboloide y del plano tangente.
[pic]
Figura 6.4...