ing industrial

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
POLITECNICO SNTIAGO MARIÑO







TRANFORMACIONES LINEALES








REALIADO POR:
JOSE QUIJADA
CI:20623333



JULIO, 2013


INDICE

TRANSFORMACIÓN LINEAL

PROPIEDADES:

CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3DESARROLLO

Transformación Lineal

Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operacionesfundamentales que definen la estructura de espacio vectorial.
Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo.
Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremosaplicación lineal. Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V V W Sean: V,W: Espacios Vectoriales f v1 w1 v1,v2,v3 Vectores v2 w2 w1,w2,w3 v3 w3
En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Una función T: V → W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformaciónlineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)

Que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V → W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codominio de T.
Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si eslineal la siguiente transformación:

T: R2 → R3 / " x Î  R2: T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿” x, y Î  R2: T (x + y) = T (x) + T (y)?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2) x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2)  = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T(x) + T (y).

b) ¿” x Î  R2, " k Î  R: T (k x) = k T (x)?
T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) =
= k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =
= k T (x)
Se verifican las dos condiciones de la
definición, entonces la transformación es lineal.

Propiedades:
 Para toda transformación lineal T: V →W, T (-x) = -T (x)
Para toda transformación lineal T: V →W, T (0)= 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W )
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V → W tal que T (vi)= zi (1 ≤ i ≤ n).
Clasificación de las Transformaciones Lineales
Recordemos que las transformaciones lineales son funciones, y como tales, pueden ser suryectivas, inyectivas o biyectivas. Gráficamente:



Transformación suryectiva
Transformación inyectiva
Transformación biyectiva

Se dice que:

T: V →W es un monomorfismo si, y sólo si, T es inyectiva. Es decir, T es un monomorfismo si ysólo si" u, v Î V: T(u) = T(v) Þ u = v.
T: V → W es un epimorfismo si, y sólo si, T es sobreyectiva. Es decir, T es un epimorfismo si y sólo si "w Î W, $ v Î V / w = T(v).
T: V →W es un isomorfismo si, y sólo si, T es biyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si y sólo si es un monomorfismo y un epimorfismo.
T: V → W es un endomorfismo si y sólo si V = W.
T: V → W es un automorfismo si y...