Ing industrial

Un espacio vectorial real K es un conjunto de objetos denominados vectores V un conjunto no vacio, con reglas de suma y producto por escalar que asigna a cada par u, vϵV una suma u+vϵV y a cada paruϵV, kϵK un producto kuϵV. Si satisfacen los siguientes axiomas.

• La suma de u y v, denotada con u + v, está en V.
• Existe un vector en V, denotado por 0 y denominado el vector cero, tal queu+0=u para todo vector uϵV.
• Para todo vector uϵV existe un único vector en V, denotado por –u, tal que u+(-u)=0.
• Para todo par de vectores u, vϵV, u+v=v+u.
• Para todo escalar kϵK y todo par devectores u, vϵV, k(u+v)=ku+kv.
• Para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (a+b)u=au+bu.
• Para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (ab)u=a(bu).
• El escalar unidad 1ϵK cumple1u=u para todo vector uϵV.

Los axiomas precedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendoque V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v1+v2+…+vm no requieren paréntesis y no depende deorden de los sumandos, que el vector cero, 0,es único, que el opuesto –u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wϵV.

U+w=v+w implica u=v. Asimismo, la resta se define segúnu-v=u+(-v).

Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la acción del cuerpo K sobre V. Observar que la rotulación de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomasadicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.

Por Ejemplo:
Sea V el conjunto de todas las funciones que dan valores reales definidas para un conjunto D. (Porlo general, D se toma como el conjunto de los números reales o como algún intervalo de la recta real.) Las funciones se suman de la forma acostumbrada: f + g es la función cuyo valor en t en el...