Ingeniera

EXERCICI AMB SIMULINK
Es té un sistema amb la següent funció de transferència:
G=1214·s2+9·s+1
1. S’estudia la resposta del sistema a una entrada en esglaó de magnitud 2, estudiant el tipus d’esmorteïment i comparant els resultats analítics amb els obtinguts mitjançant el Simulink.

* Resposta analítica:
Apliquem el teorema del valor final:
limt→∞ft=lims→0[s·f(s)]=1214·s2+9·s+1·2s=24Si sabem que:
G=Kpτ2·s2+2·τ·ξ·s+1
Kp= 12 τ=14=3.74 ξ=1.2 sistema sobreesmorteït

* Resposta Simulink:

Gràficament veiem com la resposta del sistema tendeix cap a 24.

2. S’utilitza un llaç de control per retroalimentació amb una pertorbació de la consigna en un esglaó unitari i un controlador proporcional. Es determina com varia l’offset i el tipus d’esmorteïment segons elvalor de Kc. També s’indica el valor del guany del controlador que canvia el tipus de resposta i que condueix a un offset del 10% del valor de la consigna.
* Resposta analítica:
Gc=Kc controlador proporcional Gp=G Gm=1 Gf=1
Busquem l’equació general del procés en funció de Kc.
G=Gp·Gc1+Gp·Gc= 12·Kc1+12·Kc14·s2(1+12·Kc)+9·s(1+12·Kc)+1
Apliquem el teorema del valor final quan la respostafinal és del 0.9 (offset del 10%):
lims→0G·s=12·Kc1+12·Kc14·s2(1+12·Kc)+9·s(1+12·Kc)+1·1s·s=12·Kc1+12·Kc=0.9
Kc=0.75
A continuació mirem quin valor de Kc ens varia el tipus de resposta:
τ=141+12·Kc 2·ξ·τ=2·ξ·141+12·Kc=91+12·Kc ξ=92+24·Kc·1+12·Kc14
ξ > 1 Sistema sobreesmorteït Kc < 0.0372
ξ = 1 Sistema críticament esmorteït Kc=0.0372
ξ < 1 Sistema subesmorteïtKc > 0.0372

* Resposta Simulink:

Resposta subesmorteïda per a una Kc de 0.75, que dona el 90% de la resposta. La funció de transferència global presenta dues solucions complexes.
Sistema sobreesmorteït per una Kc de 0.01. La funció de transferència global presenta dues solucions reals.

Sistema críticament esmorteït amb una Kc de 0.0372. La funció de transferència global noméspresenta una solució.
Sistema subesmorteït amb una Kc de 1

Es pot observar gràficament que a mesura que s’augmenta el valor de Kc disminueix l’offset, fet que era d’esperar amb el controlador proporcional.

3. Fixant la Kc a 0.75 i utilitzant un controlador PI s’estudia la resposta del sistema per a diferents valors del temps integral. Es troba el valor del temps integral que ens canvia eltipus de resposta i es determina amb el criteri de Routh quins valors de Kc i τI fan que el nostre sistema sigui estable.

* Resposta analítica:

Per aplicar el mètode de Routh primer hem de trobar l’equació característica polinòmica i comprovar que tots els seus termes siguin positius, per tal de que es compleixi el primer criteri del mètode i poder construir la matriu de Routh.1+GOL=Gp·Gc·Gm·Gf=1+1214·s2+9·s+1·Kc·1+1τI·s
1+GOL=14·s3+9·s2+1+12·Kc·s·τI+12·KcτI=0

1 | a0=14 | a2=1+12·Kc | 0 |
2 | a1=9 | a3=12·Kc/τI | 0 |
3 | A1 | A2=0 | 0 |
4 | B1=12·Kc/τI | 0 | 0 |

A1= 9+108·Kc-168·KcτI9
Per tal de que el sistema sigui estable tots els elements de la primera columna han de ser positius, per tant volem:

A1=9+108·Kc-168·KcτI9>0
τI>168·Kc9+108·Kc
Kc<9168-108·τIPer tal d’aconseguir l’estabilitat amb un valor de Kc de 0.75 (offset del 10% de la consigna) el valor del temps integral ha de ser major a 1.4 i l’acció integral (I), que és igual a Kc/τI , ha de prendre valors més petits que 0.535714.

* Resposta Simulink:

Resposta del sistema per una Kc de 0.75 i una τI de 0.5357.
Resposta del sistema per una Kc de 0.75 i una τI de 0.1 estable,tendeix cap a un valor.
Resposta del sistema per una Kc de 0.75 i una τI de 1 inestable
4. Amb el mateix procés que a l’apartat anterior però aquesta vegada amb un element mesurador que té un temps mort de 1.1 es determina la freqüència crítica, el guany últim i es sintonitzen controlador P, PI i PID.

* Resposta analítica:

Es té un sistema de segon ordre més temps mort, que és...