Ingenieria

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I
´ • Problemas de valores iniciales (P.V.I.) Existencia y unicidad de solucion. ´ ´ ´ • Solucion numerica de un P.V.I. Metodo de Euler. ´ • Metodos Runge-Kutta.

• Control del error. Esquemas Runge-Kutta-Fehlberg.

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Problemas de valores iniciales (P.V.I.)
Se considera el problema de valores iniciales(P.V.I.):

´ ´ el que supondremos tiene solucion unica, y

  y (x) = f (x, y(x)), x ∈ [a, b],  y(a) = y0 dado,

: [a, b] −→ R, la cual es acotada y

depende continuamente de los datos f e y0 .

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´ Existencia y unicidad de solucion de un P.V.I.
´ Teorema. Sean D un subconjunto convexo de R2 , f una funcion continua en el dominio Dy (a, y0 ) un punto interior de D . Considere el P.V.I.

´ Si f satisface la condicion de Lipschitz

  y = f (x, y), (x, y) ∈ D,  y(a) = y0 . ∀(x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D

|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ k|y1 − y2 |
con k

≥ 0, entonces, para algun intervalo I = [a − α, a + α], existe una unica ´ ´ ´ solucion y = y(x) del P.V.I. definida en ese intervalo I .

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∂f ´ ´ (x, y) existe y es acotada en D, entonces la condicion de Observacion. Si ∂y
Lipschitz se satisface con

k = max
´ Ejemplo. Considere la ecuacion

(x,y)∈D

∂f (x, y) < ∞. ∂y

y = 1 + sen xy y D = (x, y) ∈ R2 , 0 ≤ x ≤ 1, −∞ < y < ∞ .
Se tiene que

f (x, y) = 1 + sen(xy) y
Luego, dado cualquier (a, y0 ) con 0

∂f (x, y) = x cos(xy) ⇒ k = 1. ∂y

< a < 1,por el teorema existe una unica ´ ´ ´ solucion del P.V.I. en algun intervalo centrado en a. Mas aun, puede demostrarse ´ ´ ´ ´ que el P.V.I. tiene solucion unica en todo el intervalo [0, 1].

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´ ´ Solucion Numerica de un P.V.I.
´ ´ Los metodos numericos para resolver el P.V.I.

´ se basan en tomar una particion en N subintervalos delintervalo [a, b],

  y (x) = f (x, y(x)), x ∈ [a, b],  y(a) = y0 dado, a = x0 < x1 < · · · < xN = b,

y obtener sucesivamente N numeros y1 , y2 , . . . , yN que aproximan a los ´ ´ valores y(x1 ), . . . , y(xN ) de la solucion exacta en los nodos x1 , . . . , xN . ´ T´picamente los nodos se escogen equiespaciados; es decir, estan definidos por ı

xi = a + ih, i = 0, . . . , N,

b−a . con h =N

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´ Metodo de Euler (o de la Tangente)
Considere el P.V.I.

  y (x) = f (x, y(x)), x ∈ [a, b],  y(a) = y0 .
´ Una manera geometrica de aproximar ´ la solucion de este problema consiste en reemplazar la derivada ´ aproximacion

y por la
y
i

yi+1

y(x + h) − y(x) y (x) ≈ h
´ ˜ valida para h pequeno.

xi

xi+1

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´ Haciendo este reemplazo en la ecuacion se encuentra

y(x + h) − y(x) ≈ f (x, y(x)) h
de donde,

y(x + h) ≈ y(x) + hf (x, y(x)).
´ Partiendo de la condicion inicial y(a) ˜ = y0 y considerando h pequeno, el valor

y1 := y(a) + hf (a, y(a))
´ define una aproximacion para y(a + h). ´ Una vez calculada esta aproximacion, se puede utilizar paraobtener la ´ aproximacion y2 de y(a + 2h), a saber,

y2 := y1 + hf (a + h, y1 ).

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Repitiendo este proceso se pueden obtener aproximaciones para y(a + 3h),

y(a + 4h), . . . , y(a + N h).
Usando nodos xi equiespaciados obtenemos el siguiente algoritmo:

Algoritmo (Euler)

= 0, . . . , N − 1 xi = a + ih yi+1 = yi + hf (xi , yi ) fin i.Para i

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´ Metodos Runge-Kutta
´ Los metodos Runge-Kutta consideran, en cada intervalo [xi , xi+1 ], algunos nodos auxiliares de la forma:

xij := xi + θj h , j = 0, 1, . . . , q,
donde, q verifican: ´ ∈ N recibe el nombre de rango del algoritmo y los parametros θj

0 ≤ θj ≤ 1,
As´, en cada caso, ı

con

θ0 = 0 y θq = 1. xiq =...