Ingenieria

Aplicaciones de la integral
3.1 Áreas.
1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El áreaes igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tienezonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.
Definición de integral definida. Área bajo la grafica de una función
Sea una función continua en el intervalo   ,   tal que toma solo valores NOnegativos en dicho intervalo   ( ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el área comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones     y   ,   la grafica de la función y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre y de y la denotamos por:

Esta integral setrata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo     en intervalos de la misma longitud   . Los limitesde estos intervalos mas pequeños son:

donde  .

Para     contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo     y cuya altura es de longitud   .

Haciendo esto para   ,   terminamos con rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a  .

Así, cuando  :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo   :

Llamemos     a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

Es decir,     tiende a    cuando el número de rectangulos, , tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función toma valores NOnegativos en el intervalo   .   ¿Que pasaría si tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones     y   ,   la grafica de la función y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso     seria aplicable al caso     , pero ahora:

y el area sobre la grafica de la función essiendo la integral definida     NO positiva porque   .

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:
 f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .
Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la...