Ingenieria

´
´
UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANT´
ISIMA CONCEPCION
FACULTAD DE INGENIER´
IA

´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y F´
ISICA APLICADAS

LISTADO 7
´
ALGEBRA LINEAL (IN1004C)

1. Considerelos siguientes subespacios vectoriales de R3
U = {(x, y, z ) ∈ R3 /x + y + z = 0},

V = {(x, y, z ) ∈ R3 /x = z },

W = {(x, y, z ) ∈ R3 /x = 2y = 3z }.

Caracterice los elementos de U + V , U ∩W y V + W . Verifique adem´s que R3 = U ⊕ W .
a
2. Determine si (3, −1, 0, −1) ∈ {(2, −1, 3, 2), (−1, 1, 1, −3)} .
2
3. Sea W = {(x, y, z, w, t) ∈ R5 : x + 3 z − t = 0, 2x − y + 4 z − w = 0, 9x −3y + 6z − 3w − 3t = 0}.
3
Verifique que W es un subespacio de R5 . Determine un conjunto finito de vectores generadores de W .

4. Considere R como espacio vectorial sobre Q, con las operacionesusuales. Sean 1, t ∈ R. Muestre que: {1, t}
es un conjunto L.I. s´ y solo s´ t es irracional.
ı,
ı,
5. Encuentre todos los valores de k en R para que los vectores (2, 3) y (5, k ) de R2 sean L.D.
6.Determine si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D. en el espacio vectorial indicado
6.1)

10
11
1
,
,
01
00
1

1
1

en M2×2 (R);

6.2) {(1, 0, i), (1 + i, 1 − i, 1), (i, i, i)} enC3 ;
6.3) {x2 + x + 1, x2 − x + 2, x2 + x − 1, x − 1} en P2 (R).
7. Sea W = (1, 2, 3) ⊆ R3 . Encuentre un subespacio U de R3 tal que W ⊕ U = R3 .
¿U es unico?, justifique.
´
8. Dados lossubespacios
U=

a
c

b
d

∈ M2 (R)/a + c = 0 , V =

a
c

b
d

∈ M2 (R)/2b − d = 0

8.1) Halle una base y la dimensi´n de U y V ;
o
8.2) Caracterice el subespacio U ∩ V ;
8.3) ¿Es U + Vsuma directa?.
9. Muestre que cada uno de los siguientes sistemas de vectores es una base para R3
S = {(1, 2, 1), (2, 3, 3), (3, 8, 2)},

S = {(3, 5, 8), (5, 14, 13), (1, 9, 2)}.

Halle larelaci´n entre las coordenadas del vector (1, −2, 3) en ambas bases.
o
10. Encuentre una base y la dimensi´n del subespacio generado por los vectores:
o
a1 = (1, 0, 0, −1), a2 = (2, 1, 1, 0), a3 = (1,...