Ingenieria

ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS
MATEMÁTICA BÁSICA (CE11)
MATERIAL DE TRABAJO AUTÓNOMO 5
GRÁFICACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
1. TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN: En esta parte del curso se estudian las traslaciones horizontales y
verticales.

Traslaciones: Sea c > 0, entonces las transformaciones siguientes resultan de las traslaciones de la
gráfica de y = f (x)
2.Traslaciones horizontales
y = f (x - c)………………. es una traslación de c unidades a la derecha.
y = f (x + c)……………… es una traslación de c unidades a la izquierda.

f (x)= x2

f (x)= (x –3)2
La gráfica de f(x) = x2 se ha desplazado 3 unidades a la
derecha.

y = f(x)

y = f(x)

f (x)= x2

y = f(x –3)

f (x)= (x +4)2
La gráfica de f(x) = x2 se ha desplazado 4 unidades a la
izquierda.

y= f(x +4)
y = f(x)
y = f(x)

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3. Traslaciones verticales
y = f (x) + c………………. es una traslación de c unidades hacia arriba.
y = f (x) – c……………….. es una traslación de c unidades hacia abajo.

f (x)= x2 –3

f (x)= x2 +4

La gráfica de f(x) = x2 se ha desplazado 3 unidades

La gráfica de f(x) = x2 se ha desplazado 4 unidades hacia

hacia abajo.arriba.

y = f(x)

y = f(x) + 4

y = f(x)
y = f(x) – 3

En esta parte del curso se estudian las técnicas de graficación para funciones exponenciales y funciones
logarítmicas.
4. FUNCIONES EXPONENCIALES
4.1. INTRODUCCIÓN: Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen un papel clave en la
Ingeniería, Administración, Economía, Ciencias Sociales y Física.
Se usan para estudiarfenómenos eléctricos;
curvas de aprendizaje, crecimiento de
poblaciones humanas, de bacterias; la difusión
de enfermedades, decaimiento radioactivo;
etc.
El Gateway Arch , tiene la forma de la gráfica
de
una
combinación
de
funciones
exponenciales (no de una parábola como
pudiera
parecer
a
primera
vista).
Específicamente se trata de una Catenaria
cuya ecuación es de la forma y =a(ebx+e-bx).
Se seleccionó esta forma porque es la óptima para distribuir las fuerzas estructurales internas del arco hacia
la cimentación.

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4.2 FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función f definida por:

f ( x ) = a .b x

Donde a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1, y el exponente x es cualquier número real, se llama función exponencial con base
b y valor inicial f (0) = a .Ejemplos:

f(x) = 2x

f(x) = 2-x

f ( x) = e x

4.3 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL:

Como e > 1, la función f ( x) = e tiene propiedades análogas (similares) a f ( x) = 2 , solo que su
x

x

crecimiento es más rápido pues e > 2. El valor de e es

e = 2,71828182845904…

Función exponencial natural

f(x) = ex
f(x) = e-x

f ( x) = e x

f ( x) = e − x

Dominio

Dom f = {x ∈ ℜ}Dom f = {x ∈ ℜ}

Rango

Ran f = ] 0;+∞ [

Ran f = ] 0;+∞ [

]− ∞ : +∞[

NO

NO

]− ∞ : +∞[

Interceptos

(0;1)

(0;1)

Asíntota Horizontal

y=0

y=0

Intervalo de crecimiento
Intervalo de decrecimiento

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4.4 TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Ejemplo 1: Utilice la gráfica de y = e x para graficar g ( x ) = 2 − e x .Primero se grafica y = f ( x ) = e x

Luego se grafica y = − e x (tomando como referencia la
gráfica anterior), se observa en este caso que al multiplicar
por (-1) a la función f su gráfica se refleja respecto al eje x.

f ( x) = e

f ( x) = e x

x

f ( x ) = −e x

Finalmente a la función anterior se le suman 2 unidades, g ( x ) = 2 − e x

y=2

g( x ) = 2 − e x

Dominio: ]− ∞ :+∞ [

Rango: ]− ∞;2 [

Intervalos de crecimiento: No hay

Intervalos de decrecimiento: ]− ∞ : +∞ [

Puntos de corte con los ejes.

Con el eje x (y =0):

2 − e x = 0 → x = ln 2 → (ln 2;0 )

Con el eje y (x=0):

y = 2 − e 0 = 1 → (0;1)

Asíntota:

y=2
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Ejemplo 2: Utilice la gráfica de y = e − x para graficar g ( x) = e − x − 1 ....