Ingenierias

NUMEROS REALES
I. NUMEROS NATURALES. Los números mas simples y que a su vez fueron conocidos primero son los números naturales que se significan con la letra N: 1,2,3,4... Entre los números naturales se definen las operaciones de suma y multiplicación. Para la suma(+) y multiplicación (*) o ( ) los números naturales satisfacen los siguientes axiomas: 1.-Conmutativa de la suma. a + b =b + a2.-Asociatividad de la suma (a + b) + c = a + (b + c ) 3.-Conmutativa de la multiplicación a * b = b * a 4.-Distributiva de la multiplicación c(b + a) = c * b +c * a con respecto a la suma. 5.-El conjunto N es cerrado a la si a + b = c entonces c pertenece a N operación suma 6.-El conjunto N es cerrado a la si a * b = c entonces c pertenece a N multiplicación 7.-Unicidad de la suma si a = a` y b = b´se tiene: a + b= a´+ b´ 8.-Unicidad de la multiplicación a * b = a´* b´ 9.-Asociatividad de la multiplicación (a * b) * c = a * (b * c) También entre los números naturales se cumplen las leyes de la cancelación: si a + b = c + b, entonces a = c (cancelación de la suma). si a * b = a* c, entonces b = c (cancelación de la multiplicación). I.1. POSTULADOS DE PEANO: Los cinco axiomas siguientesconocidos como postulados de Peano por el matemático italiano que los enuncio en 1899, se pueden establecer como sigue: El conjunto N de los números naturales es tal que: i) 1 pertenece a N ii) Para cada n pertenece a N existe un único n* que pertenece a N, llamado el siguiente de N. iii) Para cada n pertenece a N se tiene que n* es diferente a 1.
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iv) Si m , n pertenecen a N y m* = n* , entonces m= n v) Todo subconjunto S de N que tenga las propiedades: a) 1 pertenece a S b) k pertenece a S implica que k* pertenece a S es el mismo conjunto N. NOTA: Los postulados de Peano establecen las propiedades “intrínsecas” de los números naturales. I.2. ORDEN EN N. Cuando hablamos de cantidades es frecuente efectuar comparaciones y decimos, por ejemplo ; que cierta cantidad es menor que otra. Puestoque los números naturales nos sirven para expresar cantidades, es necesario definir la relación “menor que” en N. Decimos , por ejemplo, que 3 es menor que 5. Si observamos que existe un numero natural , en este caso el 2, tal que: 3+2=5 podemos establecer, a partir de la adición, una definición para la relación “menor que” , que coincida con la idea intuitiva que de ella tenemos. Los númerosnaturales satisfacen la siguiente propiedad , llamada ley de la tricotomía. Teorema Si m y n son números naturales cualesquiera, entonces se verifica una y solo una de las siguientes proposiciones: i) n < m ii) n = m iii) m < n

Este teorema establece un orden en el conjunto N ya que: 1+1=2 2+1=3 3+1=4 4+1=5 por lo que por lo que por lo que por lo que 1 b y b > c entonces a > c.

5Demostración. a > b significa, según la definición, que a - b pertenece a N. Analógicamente, como b > c, sabemos que b - c pertenece a N.Por el axioma 1, como a - b pertenece a N y b - c pertenecen a N tenemos que su suma (a - b) + (b - c) pertenecen a N. Pero (a - b) + (b - c) = a - c . Por lo tanto a - c pertenecen a N, lo que, según la definición significa que a > c . Proposición 2: Si a es un numeroentero, se cumple una y solamente una de las condiciones siguientes: i) a > 0; ii) a = 0; iii) a < 0. Proposición 3: Si a , b y c son enteros y a > b, entonces a + c > b + c. Demostración. Puesto que a > b, sabemos que a - b pertenecen a N. Ya que a - b = (a + c) - (b + c) tenemos que (a + c) - (b + c) pertenecen a N. II.3. ORDENAMIENTO Y GRAFICA ENTRE LOS ENTEROS. A los números enteros se les puedeconsiderar geométricamente como puntos dispuestos en una línea recta y equivalentes entre si, esta forma de ordenar los números sugiere la relación de desigualdad: < , así a< b (a menor que b o b mayor que a) indica que el numero b esta a la derecha de a en la figura, o que a esta a la izquierda de b, o lo que es lo mismo, que b - a es un numero a la derecha del cero o positivo. Se definen como...