Ingeniero En Sistemas
Páginas: 3 (599 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2012
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH – HURWITZ
La estabilidad en el origen de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ˙ x(t) = Ax(t), donde A es una matriz con entradas constantes, se determinaestudiando las raíces del polinomio característico.
El problema de determinar la estabilidad en un sistema a partir del estudio de las raíces del polinomio característico de A:
[pic]
Asociadoal sistema lineal, se traduce en la tarea de encontrar condiciones necesarias y suficientes para las cuales todas las raíces de una ecuación algebraica se localicen en la mitad izquierda del plano.Decimos que un polinomio de coeficientes reales es Hurwitz si todas sus raíces tienen parte real negativa.
Dado el sistema:
[pic]
donde G (s) es la ecuación característica de un sistema.[pic]
El número de cambios de signo de: an, an-1, α1, β1,…, γ1, δ1 (primera columna resultante del criterio de Routh – Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Sitodos los elementos tienen el mismo signo, el sistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema será asintóticamente inestable. Como está indicado arriba,tendremos tantos polos en el semiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.
Ejemplo: G(s) = s4 + 5s3 + 3s2 + s + 2
[pic]
Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 2´8,-2´57, 2, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.
Degeneraciones
Hay dos casos de degeneraciones:
• En laprimera, el primer elemento de una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva sustituyendo el 0 por “ε” (número infinitesimalmente positivo), y se continua calculando. Luego a la hora de comprobarlos cambios de signo se deja el 0 que sustituimos y donde nos aparezca “ε” calculamos el limite cuando ε tiende a 0.
• En la segunda, toda una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva...
La estabilidad en el origen de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ˙ x(t) = Ax(t), donde A es una matriz con entradas constantes, se determinaestudiando las raíces del polinomio característico.
El problema de determinar la estabilidad en un sistema a partir del estudio de las raíces del polinomio característico de A:
[pic]
Asociadoal sistema lineal, se traduce en la tarea de encontrar condiciones necesarias y suficientes para las cuales todas las raíces de una ecuación algebraica se localicen en la mitad izquierda del plano.Decimos que un polinomio de coeficientes reales es Hurwitz si todas sus raíces tienen parte real negativa.
Dado el sistema:
[pic]
donde G (s) es la ecuación característica de un sistema.[pic]
El número de cambios de signo de: an, an-1, α1, β1,…, γ1, δ1 (primera columna resultante del criterio de Routh – Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Sitodos los elementos tienen el mismo signo, el sistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema será asintóticamente inestable. Como está indicado arriba,tendremos tantos polos en el semiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.
Ejemplo: G(s) = s4 + 5s3 + 3s2 + s + 2
[pic]
Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 2´8,-2´57, 2, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.
Degeneraciones
Hay dos casos de degeneraciones:
• En laprimera, el primer elemento de una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva sustituyendo el 0 por “ε” (número infinitesimalmente positivo), y se continua calculando. Luego a la hora de comprobarlos cambios de signo se deja el 0 que sustituimos y donde nos aparezca “ε” calculamos el limite cuando ε tiende a 0.
• En la segunda, toda una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva...
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