ingeniero en telecomunicaciones

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO CORO

MATEMÁTICA III

SANTA ANA DE CORO, 2011

UNIDAD III
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE ORDEN SUPERIOR

2

2.1 OBJETIVO DIDÁCTICO: Adquirir los conocimientos esenciales de las
ecuaciones diferenciales lineales de orden superior quepermitan resolver tales
ecuaciones.
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n
La ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden es una ecuación de la forma:

an ( x). y (n ) + an −1 ( x). y ( n −1) + K + a1 ( x). y′ + a0 ( x). y = g ( x)
Ejemplo:
3
2
a) x . y ′′′ + 3 x . y ′′ − 2 x. y ′ + 2 y
d 2u
du
b) m.
+ c. + k .u = F (t )
2
dt

=0

dt

2.3 Solución de una ecuacióndiferencial de orden n:
Definición:
La solución general de una E. D de orden n, viene dada por el conjunto de
todas
las
soluciones
determinadas
por
la
formula
y = f ( x, C1, C2 , C3 , K , Cn ) que contienen n constantes de integración,
tales que dadas las condiciones iniciales, se llegan a valores a1 , a2 , a3 , K , an
de modo que la solución particular viene expresada de la forma
y =f ( x, a1, a2 , a3 , K, an ) .
Ejemplo:
x
1). Determine la solución general de la E. D y ′′ − 2 y ′ + y = 0 , siendo y1 = e
x
y y 2 = x.e , soluciones de la E. D. Encuentre una solución particular que
satisfaga las condiciones y (0) = 3, y ′(0) = 1 .

y = C1. y1 + C2 . y2 ⇒ y = C1.e x + C2 .x.e x
x
x
x
x
x
Luego; y = C1.e + C2 .x.e ⇒ y ′ = C1.e + C2 .(e + x.e )
y ′(0) = 1
y (0) = 3Solución general:

3 = C1.e 0 + C2 .0.e 0 ⇒ C1 = 3

1 = 3.e 0 + C2 .(e 0 + 0.e 0 ) ⇒ C2 = −2

La solución particular que satisface es:

y = 3.e x − 2.x.e x

2.3.1 Ecuaciones Homogéneas
A una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma
an ( x ). y ( n) + an −1 ( x ). y ( n −1) + K + a1 ( x). y ′ + a0 ( x ). y

=0
3

Se la llama Homogénea.
2.3.1.1 Solución General de unaEcuación Lineal Homogénea
Teorema (Principio de Superposición)
Sean y1 ( x), y2 ( x), y3 ( x), K , y ( x) n el conjunto fundamental de soluciones
linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea
an ( x). y ( n) + an −1 ( x). y ( n −1) + K + a1 ( x). y ′ + a0 ( x). y = 0
En un intervalo I. entonces, la solución general de la ecuación en I, se puede
expresar de lasiguiente manera:

En donde,

y ( x) = C1. y1 ( x) + C2 . y2 ( x) + K + Cn . yn ( x)
C1, C2 , C3 , K, Cn son constantes de integración.

2.3.1.2 Soluciones Linealmente Independientes
Independencia Lineal:
Definición:
f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x),K ,
Dadas

f ( x) n funciones en I. Definimos el
f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x),K , f ( x) n el cual denotamos por:
Wronskiano de
W ( f1 ( x), f 2 (x), f 3 ( x), K, f ( x) n ) como el determinante de dichas
funciones el cual nos indica si las funciones son Linealmente Independientes.

W ( f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x), K , f ( x) n ) =

f1
f1′
M

f2
′
f2
M

f ( n −1)1
Teorema:
Dados f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x), K , f ( x) n ; si:
i) W ( f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x), K , f ( x) n ) ≠ 0 ,
son linealmente independientes.
ii) W (f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x), K , f ( x) n ) = 0 ,
son linealmente dependientes.

L
L
M

f ( n −1) 2 L

fn
′
fn
M
f ( n −1) n

f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x),K , f ( x) n
f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x),K , f ( x) n

Ejemplo:
1). Determine si el conjunto de funciones son linealmente independientes o
dependientes:
a.

f1 ( x) = x,

f 2 ( x) = 2 x

= x,

f 2 ( x) = x 2

b. f1( x )

4

c. y1 = e
Solución:

x

,

y2 = e 2 x , y3 = e3 x

a.

W ( x, 2 x ) =

b.

W ( x, x ) =
2

x 2x

= 2 x − 2 x = 0 ( L.D)

1

2

x

x2

1 2x

= 2 x 2 − x 2 = x 2 ≠ 0. ( L.I )

ex

e3 x

W (e x , e 2 x , e 3 x ) = e x

2e 2 x

3e3 x = 2e 6 x ≠ 0. ( L.I )

ex

c.

e2x
4e 2 x

9e 3 x

2.3.2 Ecuaciones No Homogéneas
A una ecuación...