ingeniero maritimo portuario

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

Part I

SERIES E INTEGRALES DE
FOURIER
(Edición de ejemplar de prueba)

1

Introducción

Para problemas con condiciones de frontera periódicas en el intervalo L x
L, nos preguntamos si la siguiente serie in…nita(conocida como serie de Fourier
de f (x)), tiene sentido:
f (x) = a0 +

1
X

(an cos

n=1

n x
n x
+ bn sin
)
L
L

(1:1:1)

Obviando la igualdad, vale preguntarse ¿Converge esta serie in…nita?,¿qué
condiciones debe cumplir f para que se dé la convergencia?,¿Converge a f (x)?
Estas preguntas no tienen una respuesta sencilla. Sin embargo, las series de
Fourier normalmentefuncionan bastante bien.
La expresión comentada será válida para algunos tipos de funciones y se
necesitarán pequeñas modi…caciones para otros tipos de ellas. Partiremos siendo
positivos suponiendo que la expresión mencionada es cierta. ¿Qué nos dice ésta
sobre los valores de los coe…cientes an y bn ?. Necesitaremos del siguiente lema.

1.1

Lema Elemental

i) Si m y n son números enteros nonegativos distintos entonces:
L
Z

n x
m x
cos
cos
dx =
L
L

L

L
Z

sin

n x
m x
sin
dx = 0 (1:1:2)
L
L

L

ii) Para cualquier par de enteros no negativos m y n:
L
Z

cos

n x
m x
sin
dx = 0 (1:1:3)
L
L

L

1

iii)Para cualquier entero positivo n,
L
Z

cos

2

n x
L

=

L

L
Z

n x
dx = L (1:1:4)
L

sin2

L

Demostración: Seprueba integrando directamente:
i)
L
Z

n x
m x
1
cos
cos
dx =
L
L
2

L

L
Z

(n + m) x
L

cos

1
dx+
2

L

L
Z

(n

cos

m) x
L

dx

L

L
(n + m) x L
1
sin
j L
2 (n + m)
L
(n m) x L
L
1
sin
+
j L
2 (n m)
L
= 0
=

Además, si

m=0

y

n 6= 0

es facilmente veri…cable que la integral es

cero.
En forma similar se prueba que
LR

sin

n x
m x
cos
sin
dx =
L
L

1
,
2

n x
L

L

sin

m x
L

dx = 0

ii)
L
Z

L

L
Z

cos

(n + m) x
L

1
dx +
2

L

L
1
2 (n + m)
1
L
+
2 (n m)
= 0
=

L
Z

cos

(n

L

sin
sin

(n + m) x
L
(n m) x
L

jL L
jL L

Estas formulas relativas a estas integrales se les llama relaciones de
ortogonalidad y diremos en talcaso que el conjunto de las funciones
cos nLx ; sin mL x
8n = 0; 1; 2; :::::; y 8 m = 1; 2; :::::;son
ortogonales en [ L; L]
iii) Demostración queda como ejercicio para el lector. Debe calcular estas
integrales.En síntesis, se puede puntualizar que:
L
R
0; si m6=n
1
cos nLx cos mL x dx = 1; si m=n = m;n
L
L

2

m) x
L

dx

1
L
1
L
L
R

L
R

2

n x
L

sin

m x
Ldx =

cos

n x
L

sin

m x
L

si m6=n
si m=n

dx = 0

L

cos

L

0;
1;

sin

L
L
R

n x
L

dx = 0

8m; n

=

m;n

8m; n
L
R

y

sin

L

m x
L

dx = 0

8m; n

La serie de Fourier de una función

Se debe distinguir entre f (x) y su serie de Fourier en el intervalo
Serie de Fourier de f (x)
a0 +

1
X

L

x

L:

n x
n x
+bn sin
)
L
L

(an cos

n=1

La serie trigonométrica puede incluso no converger y si converge, puede que
no lo haga a f (x). Partiendo del supuesto que la serie converge podríamos
determinar los coe…cientes de Fourier a0 , an , bn : usando las relaciones de ortogonalidad.
Lo que queremos es:
f (x) = a0 +

1
X

n x
n x
+ bn sin
)
L
L

(an cos

n=1

(1:1:1)

Integrandola identidad (1:1:1) se tiene:
L
Z

f (x)dx =

L

L
Z

a0 dx +

1
X

(an

n=1

L

L
Z

n x
cos
dx + bn
L

L

L
Z

sin

n x
dx)
L

L

Como todas las integrales de la derecha valen cero, excepto la primera, se
deduce de aquí el valor de a0 ;así.
1
a0 =
2L

L
Z

f (x)dx

L

Para el calculo de an multiplicamos la identidad (1:1:1) por cos...