Ingeniero

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE INTEGRALES
1. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR INTEGRACIÓN INMEDIATA: Como su nombre lo indica, el mencionado método consiste en la aplicación inmediata de una o varias reglas de integración ya establecidas y que son de fácil aplicación, aunque – en algunos casos-será necesario el desarrollo de operaciones algebraicas básicas.

Ejemplo1. Resolver la siguiente integral: • •

∫x

5

dx

∫  3u +

 1

3 u  du + e2 + 2 2u 2  

Método a emplear: Integración inmediata de funciones potenciales. Regla de integración:

∫x
•

n

dx =

1 x n + 1 + c; con n ≠ 1 y n ∈ R. n+ 1

Método a emplear: Integral de la sumatoria de funciones eIntegración inmediata de funciones potenciales.  Al aplicar la Ecuación correspondiente y las propiedades de los radicales, se obtiene: =  Ahora se tienen cuatro integrales por resolver. La primera se puede resolver aplicando la Ecuación. Tanto la segunda como la cuarta integral ya han sido resueltas en los ejemplos anteriores. Para resolver la tercera integral, se debe sacar e2 de la integralpor tratarse de una constante, ya que no depende de la variable u, y aplicar el factor. Así, se concluye que:
1 1 3 1 du + ∫ 2 du + 3∫ u 2 u

Determinar el valor de n. Para ello se debe comparar la integral dada, con la regla de integración. Al realizar dicha comparación, se obtiene que: n=5. Siguiendo la regla de integración, se debe realizar la siguiente operación: n+1 Como n=5, se tendrá elsiguiente resultado: n+1=5+1=6

∫e

2

du +

1 2∫

u du

• •

•

La regla de integración que se está aplicando, para resolver este ejercicio, indica que éste resultado debe colocarse tanto en el exponente de la antiderivada como en el denominador de la misma. Así 1 6 x se obtiene: 6 Ahora, si a ésta expresión se le agrega la constante de integración c, se tendrá que:
1 6 x + c 6∫  3u +

 1

3 u  du = 1 Ln u − 3 + e 2u + 2 u 3 + c + e2 + 2 2u 2  3 2u 6 
3  ∫  7x −  5 x + 10e x  dx  

Ejemplo 3. Resolver la siguiente integral:

•

• •

Concluyéndose que:

∫x

5

dx

1 6 x + c =6
1 6 x + c 6

Método a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integración inmediata de funciones exponenciales y potenciales. Desarrollo:  Al aplicarla regla correspondiente y propiedades de los radicales, se obtiene:
3  ∫  7x −  5 x + 10e x  dx  

=

Verificación: Si se deriva el resultado , x5 , que constituye la función se obtiene primitiva u original; poniéndose de manifiesto que la diferenciación y la integración son procesos inversos.

Ejemplo 2. Resolver la siguiente integral:

7  Ahora se tienen tres integrales porresolver y este tipo de ecuaciones ya fue resuelto anteriormente (Trabajar con exponentes fraccionarios y aplicar las Ecuaciones). Así, se obtiene que:

3 ∫ x dx −

5∫

x dx

+ 10 ∫ e x dx

7 x 4 − 2 5x3 + 10e x + c 4 3
PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA
2.RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE (INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN) Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original.A esto se le denomina cambio de variable (sustitución). Luego de hacer efectivo la sustitución, por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior. Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término...