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MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Y APLICACIONES

INTRODUCCIÓN
Una ecuación diferencial en derivadas parciales es una ecuación en la que interviene una o más derivadas parciales de una función de dos o más variables independientes. El orden de la derivada más alta es llamado orden de la ecuación y una solución de una ecuación en derivadas parciales es una funciónque satisface la ecuación.
En tales ecuaciones aparecen, por regla general:
Una variable dependiente, o función.
Dos o más variables independientes, y
Una o más derivadas parciales de la función respecto de las variables independientes.
EJEMPLO:


La solución de la ecuación consiste precisamente en determinar el valor de la variable dependiente, z en los dos ejemplos anteriores. En otraspalabras, encontrar la función




MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Existen diversos métodos que pueden ser aplicados para la solución de ecuaciones diferenciales parciales, los más usuales son:
-MÉTODO DE SOLUCIÓN GENERAL: Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchasaplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.

-MÉTODO DE LA SOLUCIÓN COMPLETA O INTEGRAL: Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación.

-MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES: El método de separación de variables esuna técnica clásica que resulta efectiva para resolver varios tipos de ecuaciones en derivadas parciales. Para determinar una solución, se supone que ésta puede escribirse con sus variables separadas; esto es, en la forma
U (x, y) = X (x) Y (y)
Sustituyendo esta forma de solución en la ecuación y teniendo en cuenta que

Se llega a dos ecuaciones diferenciales ordinarias de las funcionesincógnitas X (x) y Y (y). De esta forma el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se reduce al problema más conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
-MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE: La transformada de Laplace se puede utilizar para la solución de ecuaciones diferenciales parciales de forma similar que la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.Regularmente este método se emplea para solucionar ecuaciones con condiciones iníciales, es decir cuando las ecuaciones tienen derivadas con respecto al tiempo. El método consiste en aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial parcial y a las condiciones de borde, resolver la ecuación resultante y obtener la transformada inversa.

APLICACIONES

Las ecuaciones diferencialesparciales, son una herramienta de mucha importancia ya que sirven para la solución de infinidad de sistemas en los cuales intervienen un número indefinido de variables.
Algunas aplicaciones de las EDP que desempeñan un papel importante en la ingeniería, son las ecuaciones que a continuación se presentan:

ECUACIÓN DE DIFUSIÓN:



Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, desegundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes. Aparece en la teoría del flujo de calor en una varilla o en un alambre delgado donde la función u (x, t) representa la temperatura de la varilla.



ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE ONDA:


Describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes. En la que u (x, t) representalos pequeños desplazamientos de una cuerda vibrante.

ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DE LAPLACE



Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha alcanzado un equilibrio térmico. La solución u (x, y) de la ecuación de Laplace puede ser interpretada como...