ingeniero

En este curso consideraremos IR n , tanto como conjunto de puntos, como Espacio
Vectorial, así haremos uso de la confusión conveniente al considerar ( x 1 , x 2 ,, x n )
tanto como punto o vector, además si A, B son ptos de IR n , entonces AB = B – A
Def. Si x = ( x 1 , x 2 ,, x n ), Entonces:
n

x1=

x i es la norma “uno” o de la suma de x

i 1
1
2

n

x 2=

x

2
i

esla norma “dos” o Euclidiana de x

i 1

x = máx{ x i : i = 1n } es la norma infinito de x
Ejercicios:
Obtener cada una de las normas para x = ( 2, 1,– 2 )
Probar que: x

x

x 1,

2

IR n

x

En este curso usaremos corrientemente la norma “dos”, la que será denotada como x
Debo saber:
Considere x = ( x 1 , x 2 ,, x n ) ; y = ( y1 , y2 ,, yn ) entonces:
x es l.d. con y

IR :x =

x y

y

Llamaremos dirección a todo vector de norma 1
i.e. x IR n es una dirección

x =1

Denotaremos por dir(y) a la dirección del vector y
1
2

n

Notar que: y = ( y1 , y2 ,, yn )

y =

y

2
i

dir(y) =

i 1

1
y
y

Ejercicios:
Verificar que

1
y = 1;
y

y

IR n { 0 v }

Determine la dirección del vector x = ( 2, 1,– 2 )
RECTAS
Def.Considere P , punto arbitrario de IR n ; Po , punto fijo de IR n , V IR n
Entonces L = { P : P = Po + tV , t IR }, representa a la recta L por Po , dirigida por V
Consideremos el caso n = 3
Sea: P = ( x, y, z) , punto arbitrario de IR 3 ( usando notación clásica )
Prof. Máximo González Sasso

Po = ( x o , y o , z o ) punto fijo de IR 3

V = ( a, b, c ) un vector de IR 3
Entonces:
( x , y , z )= ( x o , yo , zo ) + t ( a , b , c )

P = Po + t V

x

xo
yo

bt

z

zo

ct

x

xo

at

y yo

bt

z zo

IR 3

at

y

Ecuación Vectorial de L en

ct

x xo
a

Así: abc 0
x xo
a

y yo
b

Ecuaciones paramétricas de L en

y yo
b

IR 3

z zo
=t
c

z zo
es la forma principal de L en IR 3
c

a, b, c suelen ser llamados números directores.
V= ( a, b, c ) suele ser llamado vector director
Notar que si se define la función:
: IR

IR 3 , de modo que

Entonces L = Im (

)=

(t) = ( x o + a t , y o + b t , z o + c t )

(IR)

Ejercicio.
Determine situación de la recta si alguno de los componentes del vector V es
cero (i.e. si alguno de los números directores es cero )
Obs.
Considere las rectas:
L1 :

x

x1
a1

yy1
b1

z z1
c1

L2 :

x

x2

y

a2

y2
b2

z z2
c2

(por supuesto, ningún número director es cero)
Notar que el vector V1 = ( a 1 , b1 , c1 ) dirige a la recta L1
El vector V2 = ( a 2 , b 2 , c 2 ) dirige a la recta L 2
Entonces L1

L2

V1

V2

IR : V1 =

V2
Prof. Máximo González Sasso

( a 1 , b1 , c1 ) = ( a 2 , b 2 , c 2 ) = (

a2 ,

b2 ,

c2 )

a1b
c
= 1 = 1 =
a 2 b2
c2

Así tenemos la siguiente
Proposición
Sean L1 :

x

x1

y y1
b1

a1

z z1
c1

x

L2 :

x2

y

a2

y2
b2

z z2
c2

entonces:
L1

a1
b
c
= 1 = 1
a 2 b2
c2

L2

Ejercicios.
Considere L :

x xo
a

y yo
b

z zo
c

P1 = ( x 1 , y1 , z 1 ) L

Determine Ecuación Vectorial, Ecuaciones Paramétricas y forma principal dela
recta que pasa por P1 y es paralela a la recta L
Considere los puntos Po = ( x o , y o , z o ) y P1 = ( x 1 , y1 , z 1 )
Determine Ecuación Vectorial, Ecuaciones Paramétricas y forma principal de la
recta que pasa por Po y P1 ( notación : L = Po P1 )
Def.
Considere v = ( x 1 , x 2 ,, x n )

v = ( y1 , y 2 ,, y n ) , entonces
n

v·u = ( x 1 , x 2 ,, x n )·( y1 , y2 ,, yn ) =

xi y i , es el producto interior ( o producto
i 1

punto de los vectores v, u )
Propiedades del producto punto:
Sean v, u, w

IR n , entonces:

P1) v·u = u·v
P2) v·(u
2

w ) = v·u

P3) v = v·v

0;

v·w
v IR n

v =

v v ;

v IR n

Problema:
Explique porque no tiene sentido hablar de asociatividad para el producto punto
Prof. Máximo González Sasso

Recordemos el...