Ingeniero

Capitulo
Capitulo I : Mecánica De Los Cuerpos Deformables

SOLIDO
SOLIDO CON LA MECANICA

CAPITULO
CAPITULO I
Mecánica De Los Cuerpos Deformables

1

Capitulo
Capitulo I : Mecánica De Los Cuerpos Deformables

SOLIDO
SOLIDO CON LA MECANICA

(1) La barra rígida CDE esta unida a un pasador de soporte en E y reposa en el cilindro de
latón con diámetro de 30 mm, BD. Una barra deacero AC de 22 mm de diámetro pasa por
un hueco en la barra y esta asegurada por una tuerca no apretada cuando la temperatura del
conjunto es de 20°C. Luego la temperatura del cilindro se eleva hasta 50°C, manteniendo la
barra de acero a 20°C. Suponiendo que no había esfuerzos antes del cambio de temperatura,
halle la fuerza en el cilindro.
Para barra AC:

α = 12 ⋅ 10−6 [1 °C ]
E = 200 [Gpa]

Para Cilindro:

α = 18,8 ⋅ 10−6 [1 °C ]
E = 105 [ Gpa ]

SOLUCIÓN:
a) Ecuación de Equilibrio:

∑ Fv = 0 :
∑M = 0:
E

RD = RC + RE

(1)

0, 75 ⋅ RC = 0,3 ⋅ RD
RC = 0, 4 ⋅ RD

(2)

∆C
δ − ∆D
=D
0, 75
0,3

b) Compatibilidad Geométrica:

(3)

∆ C = deformación de la barra AC.

δ D = deformación por temperatura de la barra DB
(no

produce

fuerza

axialal

desarrollarse

libremente).
∆ D = deformación por acción de la barra AC en la
barra DB.
c) Relación Esfuerzo-Deformación:

RC ⋅ LAC
= 11,84 ⋅ 10−9 ⋅ RC
AAC ⋅ E
R ⋅L
∆ D = D BD = 40, 42 ⋅ 10−10 ⋅ RD
ABD ⋅ E
∆C =

δ D = α ⋅ L ⋅ ∆Τ = α ⋅ L ⋅ (50 − 20) = 16,92 ⋅10−5 m.

(4)
(5)

(6)

2

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SOLIDO
SOLIDO CON LAMECANICA

2

 0,022 
−4
2
AAC = π ⋅ 
 = 3,8 ⋅10 m
2

2

 0,03 
−4
2
ABD = π ⋅ 
 = 7,069 ⋅10 m
2
Reemplazando (4), (5) y (6) en (3) obtenemos:

 16,92 ⋅ 10−5 40, 42 ⋅ 10−10

11,84 ⋅ 10−9
⋅ RC = 
−
⋅ RD 
0, 75
0,3
0,3


Reemplazando (2) nos queda:

 11,84 ⋅ 10−9
40, 42 ⋅ 10−10
RD 
⋅ 0, 4 +
0,3
 0, 75

∴ RD = 28502,12 N

 16,92 ⋅ 10−5
=0,3


RC = 11400,85 N

(2) ¿Cuál es la presión ejercida por el anillo de latón al anillo de acero si la temperatura de
ambos aumenta en 50 [°C ] .
1)

Latón:

2)

t = 6 [ mm.]

E = 105 ⋅ 106 [ MPa ]

Acero:

t = 4 [ mm.]

E = 210 ⋅ 103 [ MPa ]

α = 20 ⋅ 10−6 [1 °C ]

α = 12 ⋅ 10−6 [1 °C ]

r1 = 5, 7[cm]

r2 = 6, 2[cm]

∆Τ = 50 [°C ]

∆Τ = 50 [°C ]

SOLUCIÓN:a) Ecuación de Equilibrio:

F1 = F2

(1)

3

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b) Compatibilidad Geométrica:

SOLIDO
SOLIDO CON LA MECANICA

δ t1 − δ t2 = ∆1 + ∆ 2

(2)

r1 = 5, 7 [ cm ]

r2 = 6, 2 [ cm]
La acción del acero al tener un coeficiente α menor que
el latón este mantendrá apretado al latón por lo que se
mueven lo mismo.

Diagrama decuerpo libre del acero.

Diagrama de cuerpo libre del latón.

c) Relación Fuerza-Deformación:

δ t1 = α ⋅ r1 ⋅ ∆Τ = 0, 0057 [ cm ] 



⇒
δ t2 = α ⋅ r2 ⋅ ∆Τ = 0, 00372 [ cm ]



∆=

F ⋅ r2
t⋅E

(3)

(4)

Reemplazando (3) y (4) en (2):

 r12
r22 
0, 00198 = F 
+

 t1 ⋅ E1 t2 ⋅ E2 

∴ F = F1 = F2 = 4,322 [ MPa ]

4

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(3) Determine las Fuerzas en las barras, debido al descenso de temperatura de la barra n° 1?
Barra n° 1:

A1 = 20 cm 


−6
α = 10 [1 °C ]
2

E = 2 ⋅106  Kg cm 2 


∆Τ = −200 [ °C ]

Barra n° 3:

Barra n° 2:

A2 = 5 cm 



A3 = 10 cm 2 



E = 1 ⋅ 106  Kg cm 2 



E = 2 ⋅ 106  Kg cm 2



2

SOLUCIÓN:
a) Ecuaciones de Equilibrio:

∑ Fv = 0 :

F1 = F2 + F3

∑M

50 ⋅ F3 = 50 ⋅ F2

A

= 0:

F3 = F2

(1)

(2)

b) Compatibilidad Geométrica:

δ t ° − ∆1 =

∆ 2 + ∆3
2

(3)

∆1 = Deformación final de la barra 1.

δ t ° = Deformación por temperatura de la barra 1
(no produce fuerza axial al desarrollarse
libremente).
∆ 2 = Deformación final...