Ingeniero

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA BÁSICA PARA INGENIEROS

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ICM ESPOL

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

En el material estudiado anteriormente aprendimos a calcular la probabilidad de eventos de un
espacio muestral S. En esta unidad estudiaremos reglas para establecer correspondencias de
los elementos de S con los números reales, para luego asignarles un valor de probabilidad.
Ejemplo.
En unexperimento se lanzan tres monedas y se observa el resultado (c: cara o s: sello).
El conjunto de posibles resultados (espacio muestral) para este experimento, es el siguiente:
S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}
Describa con una variable, el número de sellos que se obtienen.
Los posibles resultados se los puede representar con unavariable. Si X es ésta variable,
entonces se dice que X es una variable aleatoria:
X: Variable aleatoria (número de sellos que se obtienen)
Al realizar el experimento, se obtendrá cualquier elemento del espacio muestral S.
Por lo tanto, la variable aleatoria X puede tomar alguno de los números: x = 0, 1, 2, 3.

Las Variables Aleatorias establecen correspondencia del espacio muestral S alconjunto de
los números reales. Esta correspondencia es funcional y se la puede definir formalmente.
Definición: Variable aleatoria
Sean

X:
Variable aleatoria
S:
Espacio muestral
e:
Cualquier elemento de S
x:
Valor que puede tomar X
ℜ:
Conjunto de los números reales
Entonces
X: S → ℜ
Es la correspondencia que establece la variable aleatoria X
e → x, dom X = S,
rg X ⊂ ℜ
.

Ejemplo:Tabule la correspondencia que establece la variable aleatoria X del ejemplo anterior:
S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}
X: Variable aleatoria (número de sellos que se obtienen)
x = 0, 1, 2, 3

e (elemento de S)
( c, c, c)
( c, c, s)
( c, s, c)
( s, c, c)
( c, s, s)
( s, c, s)
( s, s, c)
( s, s, s)

x (valor de X)
0
1
11
2
2
2
3

dom X = S,

rg X = {0, 1, 2, 3}

Las variables aleatorias pueden representarse con las letras mayúsculas X, Y, ...
Para un mismo espacio muestral S pueden definirse muchas variables aleatorias.
Para el ejemplo de las 3 monedas, algunas otras variables aleatorias sobre S pueden ser:
Y: Diferencia entre el número de caras y sellos
Z: El número de caras al cubo, mas el dobledel número de sellos, etc.

Ing. Luis Rodríguez Ojeda, MSc.

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Para cada variable aleatoria el rango es un subconjunto de los reales. Según el tipo de
correspondencia establecida, las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.
En el ejemplo de las monedas, X es una variable aleatoria discreta pues su rango es unsubconjunto de los enteros. Además es finita.
Ejemplo. En un experimento se lanza repetidamente una moneda. Determine el rango y tipo
de la variable aleatoria discreta siguiente:
X: Cantidad de lanzamientos realizados hasta que sale un sello
S={( s), (c, s), (c, c, s), (c, c, c, s), ...}, resultados posibles
rg X = {1, 2, 3, 4, ...}
X es una variable aleatoria discreta infinita

4.1DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA

Cada valor de una variable aleatoria discreta puede asociarse a un valor de probabilidad
Definición: Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta
Sea X: Variable aleatoria discreta
Entonces, P(X=x) representa la probabilidad que la variable X tome el valor x

La correspondencia que define P(X=x) es funcional y se denominaDistribución de
Probabilidad de la variable aleatoria X. Esta correspondencia puede definirse formalmente y
ser designarda con la notación f::
Definición: Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta X
Sean

X: Variable aleatoria discreta
f(x) = P(X=x): Probabilidad que X tome el valor x

Entonces, la correspondencia
f: X → ℜ,
x → f(x) = P(X=x), dom f = X, rg f ⊂ [0, 1]...