Integracion y su aplicacion

Contenido

Pagina

➢ Introducción 3

➢ Área entre dos curvas 4

➢ Calculo de volúmenes 6

1. método por rebanados, de discos y arandelas
2. método de capas cilíndricas

➢ Longitud de una curva plana 12

➢ Área de una superficie de revolución 13

➢ Momentos y centros de masa 15

➢ Centroides ycentros de gravedad 17

➢ Conclusión 19

➢ Bibliografía 20

Introducción

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático, dicho concepto también es aplicable en otros campos de la ciencia como lo son el de la física y la ingeniería. Las integrales aparecen en muchassituaciones prácticas, poseen una utilidad variada y muy alta ya que no solo sirven para hallar áreas bajo las curvas, sino que con su correcta aplicación se pueden obtener cálculos muy precisos como por ejemplo volúmenes, longitudes entre otras cosas, las cuales serán motivo de explicación en el siguiente trabajo.

Área entre dos curvas

Teniendo una visión clara y usando correctamente las integralesdefinidas al momento de hallar el área de una región comprendida entre una curva y un eje, podemos ver como se realiza el calculo adecuado para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir entre las graficas de dos funciones.

Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a, b] que se encuentran por encima del eje x y si f esta por encima de g, podemosinterpretar que el área de la región entre ellas es el área entre el eje x y f menos el área de la función g.

La región con la que debemos trabajar se divide en rectángulos y se procede a calcular el área de este, como ya sabemos esto se hace multiplicando su base por su altura. La diferencia que hay con esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de manera distinta debido a que son doslas funciones involucradas.

La formula para A es valida también para cuando las dos funciones toman valores negativos en el intervalo cerrado [a,b]

Para verificar esto se escoge un numero negativo d menor que el mínimo de g en [a,b] y se definen dos nuevas funciones f y g.
[pic] y [pic]
Para todos los valores que puede tomar x en en intervalo [a,b].

Entonces tenemos que como d es unvalor negativo, -d es positivo, por lo que los valores de las funfiones f y g, se obtienen sumando el número positivo –d a los valores de f y g respectivamente. Esto equivale a elevar las graficas de f y g, una distancia |d|, con lo que se obtiene una región con la misma forma y área de la región original pero que se encuentra toda ella arriba del eje x.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]Calculo de volúmenes

La integración es una herramienta del calculo que puede usarse en muchos casos, anteriormente vimos como es su aplicación para hallar áreas, pero también es muy útil en la obtención y cálculos de volúmenes, no solo de figuras geométricas regulares, sino de igual manera con las figuras en tres dimensiones que son mucho mas complejas y que con operaciones básicas no se obtendríanresultados precisos y el calculo seria mas difícil. Por esto afirmamos que las integrales nos facilitan y nos evitan muchos problemas en cualquier rama de la ciencia que se utilicen.
Refiriéndonos ya a lo que tiene que ver con el cálculo de volúmenes nos encontramos con varios métodos los cuales van cambiando dependiendo de la situación, a continuación vamos a tratar algunos de estos métodos.Método por rebanados, de discos y arandelas

Decimos que un sólido es un cilindro recto cuando se encuentra limitado por dos regiones planas congruentes R1 y R2, que son pertenecientes a dos planos paralelos y por una superficie lateral generada por un segmento rectilíneo el cual tiene sus extremos en las fronteras o limites de R1 y R2, el cual se desplaza siempre en forma perpendicular a las...