Integral

xe-x= -xe-x- e-x por partes
dydxey1=1yey1∫e^xcosx

Sea u = cosx, dv = e^xdx
du = -senxdx, v = e^x

∫e^xcosx = e^xcosx - ∫e^x(-senxdx)

∫e^xcosx = e^xcosx +∫e^xsenxdx

Ahora vuelve e integra la integral que está a la derecha...

Sea t = senx, ds = e^xdx
dt = cosxdx, s = e^x, entonces nos queda...

∫e^xcosx = e^xcosx +[e^xsenx - ∫e^xcosxdx]

∫e^xcosx = e^xcosx + e^xsenx - ∫e^xcosxdx

Ahora se pasa la integral de la derecha a la izquierda a sumar con la otra...

∫e^xcosx + ∫e^xcosxdx= e^xcosx + e^xsenx

2∫e^xcosxdx = e^xcosx + e^xsenx

∫e^xcosxdx = (e^xcosx + e^xsenx)/2

∫e^xcosxdx = e^x(cosx + senx)/2

① ∫e^x sen x dx

➊ ResolvemosIntegral por Partes 

Donde:

u = e^x..............dv = sen x 

du = e^x dx........v = - cos x 

➋ Utilizamos Formula

∫u dv = u v - ∫v du

∫ e^x sen x dx = 

-e^x cos x - ∫- e^x cos x dx 

- e^x cos x + ∫e^x cos x dx 

➌ Volvemos a Integrar

Donde:

u = e^x...........dv = cos x 

du = e^x dx.....v = sen x 

∫ e^x senx dx = - e^x cos x + e^x sen x - ∫e^x sen x dx

➍ Como puedes vez llegamos a la Integral Original, juntamos las Integrales de lado Izquierdo de la igualdad por lo cualla Integral que tienes de lado derecho mandala al lado izquierdo pero con signo contrario y nos queda

∫e^x sen x dx + ∫ e^x sen x dx = - e^x cos x + e^x sen x 

➎Sumamos Integrales y nos queda

2∫e^x sen x dx = - e^x cos x + e^x sen x

➏ El Número que multiplica a la integral lo pasamos dividiendo y nos queda

∫ e^x sen x dx= 

- e^x cos x + e^x sen x
---------------------------------- 
...............2

➐ Factorizamos

∫ e^x sen x dx = 

[½ ] e^x [sen x - cos x ] 

Saludos