Integral

Fecha de entrega: 23/Enero/2011

12
Proyecto Cálculo Integral
Integrantes:
- Paolo Peralta -Renato Luna
Paralelo: 2
Fecha de entrega: 23/Enero/2011

12
Proyecto Cálculo Integral
Integrantes:
- Paolo Peralta -Renato Luna
Paralelo: 2

Indice


Índice 1
Áreas de superficies de revolución 2Método del Trapecio 6
Trabajo 11
Centro de masa de una varilla 14
Centro de masa de una región plana 16
Presión sobre una compuerta 20
Bibliografía 25

Áreas de superficies de revolución
Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolución y que la cascarase aplana para poder medir su área.
Suponemos que la función f que genera la gráfica es derivable con continuidad. En los dos casos siguientes vamos a considerar bandas. Estas bandas no son cilíndricas pero vamos a considerar que si lo son. En cada caso el radio del cilindro va a ser f(x) o x, según que giremos alrededor del eje OX, o alrededor del eje OY. Por otro lado vamos a tomar como alturala aproximación dada por la longitud del arco (∆x)2+(∆y)2.
Cuando f sea positiva y tenga derivada continua, definimos al área superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curva  en torno al eje x

Con la notación de Leibniz para derivadas la ecuación se transforma en:

Si la curva se describe con la ecuación  la ecuación se convierte

Se puede resumir de forma simbólica,Rotación en torno eje x

Rotación en torno eje y

Donde  se refiere a:
 ó

,
Obteniendo:

Ejemplo 1:
La curva y=4-x2, -1≤x≤1  es un arco del círculo x2+y2=4. Calcule el area de la superficie generada al rotar ese arco alrededor del eje x.
Tenemos

Ejemplo 2:
Dada la función y=x2 en los puntos (1,1) y (2,4) que rota alrededor del eje y. Calcule el área de la superficie generada.

Tenemos , 
Cambio a y b por la función dentro de la longitud de arco,  y 

Integración por métodos numéricos: Método del trapecio
El método de los trapecios tiene su origen directamente en la interpretación geométrica de la “INTEGRAL DEFINIDA”.

Recordemos que la integral definida se puede interpretar como el área comprendida entre el eje de las abscisas, la función a integrar, y los límites deintegración. Esta área es calculada a través de un proceso de paso al límite usando una partición del área total, generalmente en rectángulos y haciendo tender al infinito el número de rectángulos. La implementación numérica de este concepto, se conoce como “MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS”, y de hecho, este método se constituye en el soporte teórico de la solución de problemas de aplicación deintegrales definidas.

La diferencia entre el método de los trapecios y el anterior método, consiste en que a la partición del área total, se le remplazan los rectángulos usados originalmente, por otra figura geométrica que aproxime mejor el área buscada, particularmente, usando trapecios. Además, al igual que en método de los rectángulos, se eliminará el proceso de límite, de modo que el resultadoobtenido será una aproximación del valor exacto.

Consideremos una función y=f(x), así como las rectas x=x1, x2,….,xn Supongamos que la distancia entre cada una de las parejas de valores de la abscisa xi, xi-1 es constante y la denotamos como ∆x= xi-xi-1 (i=1, 2, 3, …., n-1) Entonces:

Donde denominamos a la ordenada de la función f en la abscisa xi como yi=f(xi) para i=1, 2, 3, …., n.Recordemos que el área de un trapecio esta dada por la formula:

A=12y1+y2h
Donde h es la altura del trapecio, en tanto que y1 ⌃ y2 representan las bases del mismo, como se observa en la ilustración 1:

Consideremos la función y=f(x), y las rectas x=x1, x2,….,xn Una buena aproximación al área bajo la curva de f(x), se obtiene dividiéndola en n-1 falas de longitud ∆x y aproximando el área de...