Integrales 1 1

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Integración

En este capítulo, se estudiará un importante proceso de cálculo que está estrechamente relacionado con la diferenciación-integración. El lector aprenderá
nuevos métodos y reglas para resolver
integrales definidas e indefinidas, incluido el teorema fundamental del cálculo.
Posteriormente se aplicarán esas reglas
para encontrar algunos términos como la
función posición para unobjeto y el valor
promedio de una función.
En este capítulo, se aprenderá:
n Cómo evaluar integrales indefinidas
usando reglas de integración básicas.
(4.1)
n Cómo evaluar una suma y aproximar
el área de una región del plano. (4.2)
n Cómo evaluar una integral definida
usando un límite. (4.3)
n Cómo evaluar una integral definida
usando el teorema fundamental del
cálculo. (4.4)
n Cómo evaluar diferentestipos de
integrales definidas e indefinidas con
una variedad de métodos. (4.5)
n Cómo evaluar una integral definida
con la regla trapezoidal y la regla de
Simpson. (4.6)

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© Chuck Pefley/Alamy

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Aunque su sobrenombre oficial sea Ciudad Esmeralda, Seattle se conoce a
veces como la Ciudad Lluviosa debido a su clima. No obstante, existen varias
ciudades, incluidas Nueva York y Boston, quetípicamente tienen más precipitación anual. ¿Cómo se podría usar la integración para calcular la precipitación
normal anual para el área de Seattle? (Vea la sección 4.5, ejercicio 117.)

El área de una región parabólica puede aproximarse como la suma de las áreas de rectángulos. Conforme se incrementa el número de rectángulos, la aproximación tiende a ser cada vez más exacta. En la sección 4.2, el lectoraprenderá cómo se puede usar el proceso de límite para encontrar áreas de una variedad de ancho de regiones.

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CAPÍTULO 4

4.1

Integración

Antiderivadas o primitivas e integración indefinida
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EXPLORACIÓN

Determinación de antiderivadas
o primitivas Para cada derivada,
describir la función original F.
a) F x


2x

b) F x


x

c) F x


x2

d) F x


1
x2

e) F x


1
x3

f) Fx


cos x

¿Qué estrategia se usó para determinar F?

Escribir la solución general de una ecuación diferencial.
Usar la notación de la integral indefinida para las antiderivadas o primitivas.
Utilizar las reglas de la integración básicas para encontrar antiderivadas.
Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial.

Antiderivadas o primitivas
Suponer que se decide encontrar unafunción F cuya derivada es ƒ(x)฀ ฀3x2. Por lo que se
sabe de derivadas, es posible afirmar que
Fx


x 3 porque

d 3
x 
dx

3x 2.

La función F es una antiderivada de ƒ.
DEFINICIÓN DE UNA ANTIDERIVADA O PRIMITIVA
Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de ƒ, en un intervalo I si
F (x) f(x) para todo x en I.
Nótese que F es una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de ƒ. Paraentender
por qué, observar que
F1x


x 3,

F2x


x3

5

F3x


y

x3

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son todas antiderivadas de ƒ(x)฀ ฀3x2. De hecho, para cualquier constante C, la función dada
por F(x)฀ ฀x3฀ ฀C฀es una antiderivada de ƒ.
TEOREMA 4.1 REPRESENTACIÓN DE ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS
Si F es una antiderivada de ƒ en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en
el intervalo I si y sólo si G es de laforma G(x)฀ ฀F(x)฀ ฀C, para todo x en I, donde
C es una constante.
La prueba del teorema 4.1 en un sentido es directa. Esto es, si G(x)฀ ฀F(x)฀
฀C, F (x)฀ ฀ƒ(x), y C es constante, entonces

DEMOSTRACIÓN

G x


d
Fx

dx

C

F x


0

f x
.

Para probar este teorema en otro sentido, se supone que G es una antiderivada de f. Se define
una función H tal que

Hx


G(x


Fx
.

Para cualesquiera dospuntos a y b (a b) en el intervalo, H es continua dentro de [a, b] y
diferenciable dentro de (a, b). Mediante el teorema del valor medio,

H c


Hb

b

Ha

.
a

para algún c en (a, b). Sin embargo, H (c) 0, por consiguiente H(a) H(b). Dado que
a y b son puntos arbitrarios en el intervalo, se sabe que H es una función constante C. Así,
G(x) F(x)฀ ฀C y esto conlleva a que G(x)฀ ฀F(x)฀ ฀C....