Integrales logaritmicas y exponenciales

1.

Integraci´n de funciones trigonom´tricas o e

Muchas veces hamos visto en las guas anteriores la integraci´n de alguna funci´n trigonom´trica, y simpleo o e mente la hemos pasado por alto.Ahora en cambio vamos a aprender de verdad a integrar estas funciones. Las funciones trigonom´tricas, aunque no lo crean tienen aplicaciones bastante definidas, una de ellas es la corriente e alterna delcableado electrico: es una corriente ondulante que aveces tiene carga positiva y a veces negativa, y la funci´n de como cambia la corriente es composici´n de funciones trigonom´tricas, tambi´nllamadas “sinuo o e e soidales”. Con referencia a este nombre, obtendremos muchas m´s aplicaciones, ya que las ondas marinas son sinusoidales, a las curvas que deja el mar en la arena, las ondas sonoras,las ondas de lo fluidos (como el agua, el aire). Es decir, con funciones trigonom´tricas podemos describir todos estos fen´menos, y las integrales nos dar´n una e o a forma de estudiarlos.

1.1.Integrales Comunes

Recordemos que (sen x) = cos x (cos x) = − sen x (tg x) = sec2 x (cotg x) = − cosec2 x De esta forma, las antiderivadas correspondientes son sen xdx = − cos x + c cos xdx = sen x +c sec2 xdx = tan x + c cosec2 xdx = − cotg x + c La integral de la tg x es menos obvia, ya que no hemos visto una funci´n que derivada nos d´ ella, entonces o e debemos obtenerla tg xdx = sen dx cosAqu´ debemos recurrir al m´todo de integraci´n por partes. Tomando u = 1/ cos x y dv = sen x obtenemos1 ı e o tg xdx = − cos x − cos x cos x dx cos2 x

1 dx cos x = −1 − ln(cos x) + c = −1 − Perocomo 1 es una constante, es mejor “unirla” a c. Finalmente tg xdx = − ln | cos x| + c
una buena forma de recordar este m´todo es la frase una vaca nunca se viste de uniforme lo que nos da una= u,vaca= v, e R nunca= −, se= , viste= v, de uniforme= du
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Usando el mismo procedimiento encontramos las integrales cotg xdx = ln | sen x| + c sec xdx = ln | sec x + tg x| + c cosec xdx = ln |...