Integrales

´ ´ Metodos de Integracion

por

Argimiro Arratia

Profesor del ´ Departamento de Matematicas ´ Universidad Simon Bol´ ıvar Venezuela

Contenido
1 2 3 Introducci´n o Integrales Simples Dos M´todos Fundamentales e 3.1 Sustituci´n o Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2 Integraci´n por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oIntegraci´n de Funciones Trigonom´tricas o e 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Integrales de la forma Integrales de la forma Integrales de la forma Integrales de la forma Integrales de la forma Integrales de la forma Integrales de la forma sen nx sen mx dx o 5 6 7 8 cos nx cos mx dx con n = m. . . . . . . . . . . . 18 19 25 33 37 37 38 39 40 sen x dx y
n n

1 3 5 5 8 11

4

cos x dx. . . . . . .. . . . . . . . 11

sen m x cosn x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 tann x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 secn x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 tanm x secn x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 sen nx cos mx dx con n = m. . . . . . . . . . . . 17

Integraci´n por Sustituciones Trigonom´tricas o e Integraci´n de FuncionesRacionales o Funciones Hiperb´licas y Sustituciones Hiperb´licas o o Integrandos Racionalizables 8.1 Funciones racionales de potencias fraccionarias 8.2 Funciones racionales de senos y cosenos . . . . √ 8.3 Funciones racionales del tipo R(x, √1 − x2 ) . . 8.4 Funciones racionales del tipo R(x, x2 − 1) . . v

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

vi 8.5 9

Contenido √ Funciones racionales del tipo R(x, x2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 43 47

103 Integrales

10 Respuestas

1. Introducci´n o
La definici´n de la integral de una funci´n continua f en un intervalo [a, b] como el l´ o o ımite de las sumas parciales de particionesrectangulares, en s´ ımbolos
b n

f (x) dx = lim
a

n→∞

f (αi )∆xi ,
i=1

no nos provee de un conjunto de reglas operativas para resolver integrales de manera tan precisa como lo son el conjunto de reglas para resolver derivadas. Es el Teorema Fundab

mental del C´lculo que nos da una mejor heur´ a ıstica para calcular el valor de
a b

f (x) dx,

la cual es el punto de partida de los m´todosexpuestos aqui: h´llese una funci´n g tal que e a o g (x) = f (x); luego
a

f (x) dx = g(b)−g(a). La funci´n g es unica salvo constante aditiva o ´

y est´ definida para todos los valores de x donde f (x) est´ definida. Por todo esto y por a a ser nuestro objetivo en estas notas elaborar m´todos para hallar g, obviaremos los l´ e ımites
b

de integraci´n a y b (por lo que tampoco nosinteresar´ calcular el valor de o a en general, trabajaremos con la integral indefinida f (x) dx cuya soluci´n tiene la forma g(x) + C, donde g es una funci´n que satisface o o g (x) = f (x)
a

f (x) dx) y,

(y es esta ultima condici´n la que utilizamos para verificar que, en efecto, g es una soluci´n ´ o o de la integral.) El proceso de hallar una soluci´n para una integral es lo que se denominaintegrar o una funci´n o simplemente integraci´n. En la expresi´n o o o f (x) dx = g(x) + C, la funci´n o f (x) se llama integrando, la funci´n g(x) se llama primitiva o antiderivada de f y C es o la constante de integraci´n, la cual olvidaremos escribir en general (y muchas veces por o razones de espacio). Sin embargo, se debe tener siempre presente que son infinitas las soluciones de una integralindefinida y cualquier par de ellas difieren en una constante.
b

El s´ ımbolo
a

f (x) dx se atribuye a la inventiva de Leibniz (1646–1716), quien quiso

representar con ´ste una suma infinita de rect´ngulos, cada uno de altura dada por el e a 1

2

´ Introduccion

valor de la funci´n f y base infinitamente peque˜a o de valor infinitesimal dx. El uso o n que Leibniz dio a estos dx fue...