Integrales

Formulario de integrales
c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis
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1.
1.1.
1.1.1.

Integrales indefinidas
Funcionesracionales e irracionales
Contienen ax + b

(1) (2) (3) (4) (5) 1.1.2.

(ax + b)n dx =

1 (ax + b)n+1 + C, a(n + 1)

n=1

dx 1 = ln |ax + b| + C ax + b a dx 1 x +C = ln x(ax + b) a ax + b 1 1 dx =− · +C 2 (1 + x) 1+ x 1 2 1 1 xdx =− · − · +C (1 + bx)3 2b (1 + bx)2 2b 1 + bx Contienen √ ax + b

(6)

(7)

√ 2(3bx − 2a)(a + bx)3/2 +C x a + bxdx = 15b2 √ x 2(bx − 2a) a + bx √ dx = +C 3b2 a +bx

1

(8)

dx = x a + bx √ √

 1  √ ln a

(9) 1.1.3.

√ a + bx dx = 2 a + bx + a x

√ √ √a+bx−√a + C, a+bx+ a  √2 arctan a+bx + C, −a −a

a>0 a0

xdx 1 =√ +C 2 )3/2 2 ± a2 ±a x x0

dx 1 1 a+x x + C = arctanh = ln a2 − x2 2a a−x a a (a2 dx x = √ +C 2 )3/2 2 a2 − x2 −x a √ x2 ± a 2 1 x a2 ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C = 2 √ 1 a2 2 2 (+) 2 x√a + x + 2 arcsenhx + C 2 1 x a2 −x2 + a arccoshx + C (−) 2 2 1 2 (x ± a2 )3/2 + C 3

Contienen

(15)

x2 ± a2 dx

= =

(16) (17) (18) (19) (20) (21)

x x3 √

x2 ± a2 dx =

1 2 x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C 5 5 x2 − a2 − a · arc cos a +C |x|

x2 − a 2 dx = x

√ √

dx x = a · arcsenh + C a x2 + a 2 x2 dx = ln x + − a2

x2 − a2 + C = arccosh (a > 0)

x + C, a

(a > 0)

1 a dx = arc cos + C,2 − a2 a |x| x x √ 2

(22) (23) (24) (25) 1.1.6.

dx √ = 2 x2 ± a 2 x

√ x2 ± a 2 +C a2 x

xdx = x2 ± a 2 + C x2 ± a 2 √ (a2 + x2 )3/2 x2 ± a 2 dx = +C 4 x 3a2 x3 √ x2 x dx = 2 − a2 2 x √ x2 − a 2 − a2 x arccosh + C 2 a

Contienen

a2 ± x2 1 x 2 a2 x arc sen + C, 2 a

(26) (27) (28) (29) x x2

a2 − x2 dx =

a2 − x2 −

(a > 0)

1 a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C 3 a2 − x2 dx= a>0

(30) (31) (32) (33) (34) (35) 1.1.7.

x a2 x (2x2 − a2 ) a2 − x2 + arc sen + C, 8 8 a √ √ a2 ± x2 a + a2 ± x2 dx = a2 ± x2 − a ln +C x x √ − a2 − x2 dx √ = +C a2 x x2 a 2 − x 2 dx x = arc sen + C, a > 0 2 a −x √ dx 1 a + a2 − x2 √ +C = − ln a x x a2 − x2 √ a2 √ √ √ x dx = ± a2 ± x2 a2 a2 a 2 ± x2 + C a 2 ± x2 x a2 arc sen + C, 2 a a>0 a>0

dx = ln x + + x2

x2 x dx = ± 2 2 ±x

a2+ x2 + C = arcsenh

x + C, a

Contienen ax2 + bx + c  √ 2ax+b− b2 −4ac  √ 21  b −4ac ln 2ax+b+√b2 −4ac =    √ 2 dx = b2 −4ac arctanh √2ax+b + C, b2 > 4ac b2 −4ac = ax2 + bx + c  √ 2 b2 < 4ac  4ac−b2 arctan √2ax+b 2 + C,  4ac−b   2 b2 = 4ac − 2ax+b + C, 3

(36)

(37)

x 1 b dx = ln ax2 + bx + c − ax2 + bx + c 2a 2a

dx +C ax2 + bx + c

(38)

(ax2

x · dx bx + 2c = 2 +n + bx + c) (b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1 b(2n − 3) dx + 2 , n = 0, 1, 2 + bx + c)n−1 (b − 4ac)(n − 1) (ax

b2 < 4ac

(39)

2ax + b dx = + (ax2 + bx + c)n −(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1 2a(2n − 3) dx + , n = 0, 1, b2 < 4ac −(b2 − 4ac)(n − 1) (ax2 + bx + c)n−1 Contienen √ ax2 + bx + c

1.1.8.

(40) ax2 + bx + cdx = (41) 2ax + b 4a ax2 + bx + c + 4ac − b2 8a √ ax2 dx + bx + c

a0 + a 1 x + . . . + a n xn √ dx ax2 + bx + c √

Ver §3.5, p´g. 11: m´todo alem´n a e a

(42)

ax2

(43)

(44)

1.2.
1.2.1.

Funciones trigonom´tricas e
Contienen sen ax

√ x dx ax2 + bx + c b √ √ − dx = 2 + bx + c 2 + bx + c a 2a ax ax  √ √ 2  −1 ln 2 c ax +bx+c+bx+2c + C, c > 0 √ dx x c √ = bx+2c 2 + bx + c  √1 arc sen √ 2 x ax + C, c 0;  √a arcsenh √4ac−b2 + C,  1 √ ln|2ax + b| + C, ∆ = 0, a > 0; , ∆ = b2 − 4ac  a1  √ arc sen √2ax+b + C, ∆ > 0, a < 0; − −a b2 −4ac

(45) (46)

1 ax dx +C = ln tan sen ax a 2 sen2 axdx = 1 ax − cos ax · sen ax x sen 2ax · +C = − +C 2 a 2 4a

4

(47) (48) (49) (50) (51) 1.2.2.

senn axdx = −

senn−1 ax · cos ax n − 1 + a·n n

senn−2 axdx,

n = 0, −1; a 2 = b2

sen ax sen bxdx = −

1 n xn sen axdx = − xn cos...