Integrales

INTEGRALES INDEFINIDAS

Antiderivada.
Una función F se denomina antiderivada de una función f en un intervalo I si [pic] para todo [pic]

Ejemplo.
Si F es lafunción definida por [pic] entonces [pic] De modo que si [pic]entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f. Si G es la función definida por [pic]entonces Gtambién es una antiderivada de f, porque [pic]En realidad, cualquier función H definida por [pic]donde C es una constante, es una antiderivada de f.

Teorema 1.
Sif y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que [pic] para todo [pic]entonces existe una constante K tal que [pic] para todo [pic]

“La antiderivacióno antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo [pic]denota la operación deantiderivación, y se escribe [pic] donde [pic] y [pic]”.

En la igualdad[pic] x es la variable de integración, [pic] es el integrando y la expresión [pic] recibe elnombre de antiderivada general o integral indefinida de f. Si [pic]es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean [pic]también es el conjunto de todas lasfunciones cuya derivada es [pic]

Teorema 2.
[pic]
Teorema 3.
[pic] donde a es una constante.

Teorema 4.
Si las funciones f y g están definidas en el mismointervalo, entonces [pic]

Teorema 5.
Si las funciones [pic] están definidas en el mismo intervalo, entonces [pic]
donde [pic] son constantes.

Teorema 6.
Si n esun número racional, entonces [pic]

Ejemplos.
1) Evalúe [pic]
Solución.
[pic]

2) Calcule [pic]
Solución.
[pic]
3) Determine [pic]
Solución.
[pic]