integrales

CAP´
ITULO XII.
INTEGRALES
IMPROPIAS

SECCIONES
A. Integrales impropias de primera especie.
B. Integrales impropias de segunda especie.
C. Aplicaciones al c´lculo de ´reas y vol´menes.
a
a
u
D. Ejercicios propuestos.

109

A. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE.

El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos
cerrados [a, b], con a, b ∈ R.Este concepto se puede extender eliminando
estas restricciones. Ello da lugar a las integrales impropias.
Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo de
integraci´n es infinito, ya sea de la forma (a, ∞), (−∞, b) o bien (−∞, ∞),
o
pero la funci´n est´ acotada. Para cada uno de los casos indicados se defio
a
ne
∞

B

f (x) dx =
a
b

f (x) dx,

l´
ım

B→∞ ab

f (x) dx =
−∞
∞

f (x) dx =

l´
ım

f (x) dx,

l´
ım

f (x) dx, 1

A→−∞ A
B
A→−∞ A
B→∞

−∞

y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el l´
ımite
existe y es finito y divergente en caso contrario. Las siguientes propiedades
son an´logas a las correspondientes en las integrales propias (s´lo considea
o
raremos el caso del intervalo (a,∞) pues el segundo caso se puede reducir
al primero con el cambio de variable t = −x y el tercer caso es combinaci´n
o
de los dos anteriores al descomponer la integral en dos sumandos).
PROPIEDADES.
(1) La convergencia de la integral no depende del l´
ımite de integraci´n real.
o
∞

∞

f (x)dx converge ⇐⇒

Es decir,

f (x)dx converge.

a

b
∞

(2) Homog´nea. Si
e

∞

f esconvergente, entonces
a

para todo λ ∈ R y se cumple:
∞

∞

λf = λ
a
∞

(3) Aditiva. Si
adem´s
a

f.
a

∞

f,
a

λf es convergente,
a

∞

g convergen, entonces
a

(f + g) converge y
a

∞

∞

(f + g) =
a

a

110

∞

f+

g.
a

(4) Integraci´n por partes. Si f y g tienen derivadas de primer orden
o
continuas en [a, ∞) y dos de los tres l´ımites
b

b

l´
ım

b→∞ a

f (x)g(x) dx, l´ [f (b)g(b) − f (a)g(a)]
ım

f (x)g (x) dx, l´
ım

b→∞

b→∞ a

existen, entonces el tercero tambi´n existe y se tiene que
e
∞

∞

f (x)g (x) dx = l´ [f (b)g(b) − f (a)g(a)] −
ım
b→∞

a
∞

∞

|f | converge, entonces

(5) Si

f (x)g(x) dx.
a

a

f converge.
a

Esta ultima propiedad permite definir el concepto deconvergencia ab´
soluta para el caso en que la funci´n integrando no tenga signo conso
tante en [a, ∞).
∞

Dada una funci´n f integrable en [a, x], para todo x > a, se dice que
o
∞

|f | converge, y que

converge absolutamente si la integral
a

∞

condicionalmente si

a

∞

|f | diverge.

f converge pero
a

f converge
a

∞
a

En los casos en que no sea posible (o nosea necesario) calcular expl´
ıcitamente
la integral, su convergencia se puede deducir por alguno de los siguientes
criterios (observar el paralelismo que mantienen algunos de estos criterios
con sus correspondientes para la convergencia de series).
CRITERIOS DE CONVERGENCIA.
(1) Criterio de comparaci´n. Si f y g son funciones continuas en [a, ∞)
o
∞

y 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x > a, entonces 0≤
a

∞

Por tanto, si

∞

f (x) dx ≤
∞

g(x) dx converge, entonces
a

g(x) dx.
a

f (x) dx converge.
a

(2) Comparaci´n por paso al l´
o
ımite. Sean f y g continuas y no negativas en [a, ∞).
a) Si l´
ım

x→∞

f (x)
= λ = 0, λ finito, entonces
g(x)
∞

∞

f (x) dx converge ⇐⇒
a

g(x) dx converge.
a

f (x)
= 0, entonces
x→∞ g(x)

b) Si l´
ım

∞

∞g(x) dx converge =⇒
a

f (x) dx converge.
a

111

∞

1
dx converge si α > 1 y diverge
xα
1
si α ≤ 1 (ver problema 12.1), se aplica el criterio anterior con g(x) =
1/xα . Este queda entonces as´
ı:
En muchos casos, debido a que

(3) Sea f una funci´n continua y no negativa en [a, ∞).
o
a) Si l´ xα f (x) = λ = 0, λ finito, entonces
ım
x→∞

∞

f (x) dx converge ⇐⇒ α >...