Integrales

CONDICIONES DE INTEGRABILIDAD
a) Toda funcion monotona en [a; b] es integrable en [a; b].
Supongamos que f es monotona creciente y f(b) > f(a) (si f(b) = f(a) la funcion
esconstante y la demostracion de su integrabilidad resulta trivial). Entonces, en
cada subintervalo [xi¡1; xi],
mi = inf f(x) = f(xi¡1);
Mi = sup f(x) = f(xi):
Elegido f" > 0,tomamos una particion / delta xi < épsilon sobre f(b)-f(a)
con lo que
S(P) - s(P) es igual a la sumatoria de n en un intervalo i=I(Mi-mi)deltaxi< épsilon sobre f(b)-f(a)
Xni=1
(Mi ¡ mi)4xi <
"
f(b) ¡ f(a)
Xn
i=1
(Mi ¡ mi) =
"
f(b) ¡ f(a)
[f(xn) ¡ f(xn¡1) + f(xn¡1) ¡ f(xn¡2) + ¢ ¢ ¢ + f(x1) ¡ f(x0)] = ":
con lo que se cumple la condici¶on deintegrabilidad.
b) Toda funci¶on continua en [a; b] es integrable en [a; b].
Si f es continua en [a; b], ser¶a uniformemente continua en [a; b], por lo que dado
un " > 0 cualquiera,existir¶a un ± tal que, para x; x0 2 [a; b] se cumple
jx ¡ x0j < ± =) jf(x) ¡ f(x0)j <
"
b ¡ a
: (1)
Sea P(x0; x1; : : : ; xn) una partici¶on de [a; b] = 4xi < ±. Como f escontinua, en
cada intervalo [xi¡1; xi] alcanzar¶a valores m¶aximo y m¶³nimo, es decir mi = f(x0
i)
y Mi = f(x00
i ) para ciertos x0
i; x00
i de [xi¡1; xi].
Entonces, al ser xi ¡xi¡1 = 4xi < ±, ser¶a x0
i ¡ x00
i < ±; luego, debido a (1),
Mi ¡ mi = jMi ¡ mij = jf(x00
i ) ¡ f(x0
i)j <
"
b ¡ a
:
Por tanto, para la partici¶on P,
S(P) ¡ s(P) =
Xni=1
(Mi ¡ mi)4xi <
"
b ¡ a
Xn
i=1
4xi =
"
b ¡ a
(b ¡ a) = ";
con lo que se cumple la condici¶on de integrabilidad.
c) Toda funci¶on continua a trozos en [a; b] es integrable en[a; b].
Se dice que f es continua a trozos si tiene un n¶umero ¯nito de puntos de disconti-
nuidad, en ellos existen los l¶³mites laterales y son ¯nitos. La demostraci¶on puede