Integrales

APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA A ECONOMIA Y ADMINISTRACION.




En administración y economía, la variación de una cantidad "y " con respecto a otra cantidad "x" se analiza usualmente en términos de dos conceptos: VARIACION PROMEDIO y VARIACION MARGINAL; en la misma forma en que la variación marginal puede obtenerse diferenciando( o derivando ) una función, tal función (exceptuando el caso de una constante ) puede obtenerse al integrar la ecuación de su variación marginal


COSTO : Si el Costo Total "y" de producir y comercializar "x" unidades de un producto (mercadería) esta dado por la función:


y = C(x) , entonces el Costo Promedio por unidad es :

[pic] el costo Marginal estará dado por :

y=[pic]

Es decir, elCosto Marginal es la primera derivada C´(x) , de la función Costo Total C(x), con respecto a x, por lo tanto, el Costo Total será la integral con respecto a "x" de la función Costo Marginal ; o sea :



[pic]


Para obtener una única función de Costo Total al integrar la correspondiente función de Costo Marginal, la constante arbitraria se puede obtener si conocemosel Costo Indirecto, es decir, el Costo cuando la producción de unidades es nula. (Costos Fijos o Gastos Generales Iniciales ), o bien , el Costo de producción de un # específico de unidades de la mercadería.
Por ej.


1. El Costo Marginal C´(x) como función de las unidades producidas "x" , está dado por :

C´(x) = 1.064 - 0,005x

Si el Costo Fijo es de 16,3 ,hallar las funciones de Costo Total y costo Promedio








Solución:

C(x) = [pic]

= 1.064x - 0,0025x2 + c


Si x = 0 , C´(0) = 16,3 ; se deduce que c = 16,3 , y se tiene :


C(x) = 16,3 + 1.064x - 0,0025x2 ( Costo Total )

[pic] ( Costo Promedio )




2. El Costo Marginal C´(x) como función de las unidadesproducidas ( o producción ) "x" , está dado por :

C´(x) = 2 + 60x - 5x2

Si el Costo Fijo es de 65 , hallar las funciones de Costo Total y Costo Promedio


Solución :

C(x) = [pic]

= [pic]

Si x = 0 , C´(0) = 65 ; se deduce que c = 65 , y se tiene entonces :

[pic] ( Costo Total )

[pic] ( CostoPromedio )











3. La función de Costo Marginal C´(x) , está dado por : C´(x) = 4x - 8 ; donde C(x) US$ es el Costo Total de la Producción de "x" unidades.
Si el Costo de la Producción de 5 unidades es de US$ 20 , calcular la función del Costo Total .


Solución :

El Costo Marginal debe de ser no negativo , de ahí que :
4x - 8 (0 , y , por lo tanto , los valores de "x" son x ( 2.

como : C´(x) = 4x - 8

[pic]

= 2x2 - 8x + c

Como C( 5 ) = 20 , entonces obtenemos que c = 10 ,

Por lo tanto

C(x) = 2x2 - 8x + 10 ; x ( 2

Por ejemplo si queremos hallar el Costo Total de la fabricaciónde 120 unidades , bastará evaluar C(x) para : x = 120.

C(120) = 2(120)2 - 8(120) + 10 = US$ 27.850

El Costo Promedio por unidad estará dado por la función :

[pic]

INGRESO : Para cualquier función de demanda dada por la ecuación :

p = f(x)

En la cual "p" es el precio por unidad y "x" es número de unidades demandadas( a vender ) , el Ingreso Total I(x) es el producto de
p ( x , es decir :

I(x) = x ( p

El Ingreso Marginal en función de la cantidad demandada es la derivada del Ingreso Total con respecto a "x" .

[pic]

Por lo tanto, la función Ingreso total es la integral con respecto a "x" de la función Ingreso marginal, es decir :...