Integrales
Páginas: 48 (11938 palabras)
Publicado: 1 de junio de 2012
12
CÁLCULO
DE PRIMITIVAS
P ágina 328
Concepto de primitiva
s
NÚMEROS Y POTENCIAS SENCILLAS
∫
b) 2 = 2x
∫
∫
b) x =
∫
b)
∫
x
x2
=
3
6
∫
b) x 2 =
∫
x3
3
c) 2x 2 =
∫
b) x 5 =
∫
x6
6
c) 3x 5 =
1. a) 1 = x
∫
2. a) 2x = x 2
7x 2
3. a) 7x =
2
4. a) 3x 2 = x 3
5. a) 6x 5 = x 6
c)
∫ √2 = √2 x
∫
x2
2
c) 3x=
3x 2
2
—
√ 2 x2
c) √ 2 x =
∫
2
∫
2x 3
3
∫
3x 6
x6
=
6
2
P ágina 329
s
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
∫
6. a) (–1) x –2 = x –1 =
7. a)
∫ x1 = ∫ x
8. a)
∫
b)
s
3
–3
=
∫
1
x
b) x –2 =
–1
x –2
=
2x 2
–2
–1
x –1
=
x
–1
b)
∫ x2
3
=2
c)
∫x
1
3
=
∫ x5
2
=
–5
x
–2
–1=2
2x 2
x
∫
–1
(x – 3)–2
1
= (x – 3)–3 =
=
3
2 (x – 3)2
–2
(x – 3)
∫ (x –5 3)
3
=5
∫ (x – 3)
1
3
=
–5
2(x – 3)2
LAS RAÍCES TAMBIÉN SON POTENCIAS
9. a)
∫2x
3
1/2
= x 3/2 = √ x 3
Unidad 12. Cálculo de primitivas
b)
∫ 2 √x = ∫ 2 x
3
3
1/2
= x 3/2 = √ x 3
1
10. a)
∫ √x = 3 ∫ 2 x
11. a)
∫ √3x = ∫ √3 √x = √3 ∫ √x =b)
2
∫
√ 2x =
5
3
∫
1/2
5
5
∫2x
13. a)
∫ 2 √ x = 3∫ 2 √ x
14. a)
∫ √x = ∫ x
s
–1/2
∫
5
3/2
=
15
3
15
b)
b)
2 √x5
x 5/2
=
5
5/2
∫ √5x = 5 ∫ 2 √5x
b)
∫ √7x
3
∫ 5x
=
b)
= 3 √x
∫ 2 √x = √x
b)
1
∫ 2x + 6 = 2 ∫ 2x + 6 = 2 ln |2x + 6|
1
3
5
6
=
6 √ 5x
5
∫
2 √ 7x5
= √7 √x3 =
5
¿RECUERDAS QUE D (ln x) = 1/x?
15. a)
∫x
16. a)
∫ x + 5 = ln |x + 5|
s
∫
2 √3
2 √ 3x 3
√x3 =
3
3
= x 1/2 = √ x
3
3
∫
14 √ x 3
b) 7 √ x = 7 √ x =
3
√ 2 √ x = √ 2 √ x = √ 2 · 2 √ x 3 = 2 √ 2 √ x 3 = 2 √ 2x 3
12. a)
1
2 3/2 2 √ x 3
x=
3
3
=
1
= ln |x|
1
1
1
5
3
∫ 5x
5
3
1
ln |5x|
5
=2
3
ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
∫
∫
17. a) cos x = sen x
∫
(
18. a) cos x +
b) 2 cos x = 2 sen x
)
(
π
π
= sen x +
2
2
)
∫
b) cos 2x =
∫
1
1
2 cos 2x =
sen 2x
2
2
∫
b) sen x = – cos x
∫
∫
b) sen 2x =
19. a) (–sen x ) = cos x
∫
20. a) sen (x – π) = – cos (x – π)
∫
21. a) (1 + tg2 2x ) =
∫
∫
1–1
2 sen 2x =
cos 2x
2
2
∫
1
1
2(1 + tg 2 2x) =
tg 2x
2
2
∫
∫
∫
b) tg2 2x = (1 + tg 2 2x – 1) = (1 + tg 2 2x) – 1 =
Unidad 12. Cálculo de primitivas
1
tg 2x – x
2
2
s
ALGUNAS EXPONENCIALES
∫
∫
b) e x + 1 = e x + 1
22. a) e x = e x
∫
∫
∫
1
1
2e 2x = e 2x
2
2
23. a) e 2x =
b) e 2x + 1 =
∫
1
1
2e 2x + 1 = e 2x + 1
22
Página 331
1. Calcula las siguientes integrales:
∫
a) 7x 4
b)
∫
e)
d)
3
√ 5x 2
∫
c)
∫
—
—
√x + √5x3
3
f)
3x
∫ √x
∫
√ 5x3
∫
1 = x –2 = x –1 + k = –1 + k
x
–1
x2
∫
3/2
2 √x3
√ x = x 1/2 = x
+k =
+k
3
3/2
∫
∫
∫
3
d) √ 5x 2 =
e)
c)
2
x5
7x 5
+k =
+k
5
5
a) 7x 4 = 7
b)
∫ x1
∫—
∫
5/3
3
3 √ 5x 5
√ 5 x 2/3 = √ 5 x
+k =
+k
5
5/3
3
3
—
√ x + √ 5x3 =
3
3x
∫
∫
x 1/3
+
3x
—
√ 5 x 3/2 = 1 x –2/3 + √ 5 x 1/2 =
3x
3
∫
3
∫
√ 5 x 3/2 + k = 3 x + 2 √ 5x 3 + k
1 x 1/3
√
+
3 3/2
9
3 1/3
—
—
—
—6 —
√ 5 · x3/2
√5
√ 5 x 13/6
6 √ 5 √x 13
= 3 — x 7/6 = 3 —
+k=
+k
3—
3—
√ 3 · x1/3
√3
√ 3 13/6
13 √ 3
=f)
∫
√ 5x3 =
∫
∫
2. Calcula:
a)
∫
x 4 – 5x 2 + 3x – 4
x
b)
∫
x 4 – 5x 2 + 3x – 4
x+1
c)
∫
7x 4 – 5x 2 + 3x – 4
x2
d)
∫
x3
x–2
a)
∫
x 4 – 5x 2 + 3x – 4
=
x
Unidad 12. Cálculo de primitivas
∫(
x 3 – 5x + 3 –
)
4
x4
5x 2
=
–
+ 3x – 4 ln |x| + k
x
4
2
3
b)
∫
x 4 – 5x 2 + 3x – 4
=
x+1
=
∫ (x...
CÁLCULO
DE PRIMITIVAS
P ágina 328
Concepto de primitiva
s
NÚMEROS Y POTENCIAS SENCILLAS
∫
b) 2 = 2x
∫
∫
b) x =
∫
b)
∫
x
x2
=
3
6
∫
b) x 2 =
∫
x3
3
c) 2x 2 =
∫
b) x 5 =
∫
x6
6
c) 3x 5 =
1. a) 1 = x
∫
2. a) 2x = x 2
7x 2
3. a) 7x =
2
4. a) 3x 2 = x 3
5. a) 6x 5 = x 6
c)
∫ √2 = √2 x
∫
x2
2
c) 3x=
3x 2
2
—
√ 2 x2
c) √ 2 x =
∫
2
∫
2x 3
3
∫
3x 6
x6
=
6
2
P ágina 329
s
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
∫
6. a) (–1) x –2 = x –1 =
7. a)
∫ x1 = ∫ x
8. a)
∫
b)
s
3
–3
=
∫
1
x
b) x –2 =
–1
x –2
=
2x 2
–2
–1
x –1
=
x
–1
b)
∫ x2
3
=2
c)
∫x
1
3
=
∫ x5
2
=
–5
x
–2
–1=2
2x 2
x
∫
–1
(x – 3)–2
1
= (x – 3)–3 =
=
3
2 (x – 3)2
–2
(x – 3)
∫ (x –5 3)
3
=5
∫ (x – 3)
1
3
=
–5
2(x – 3)2
LAS RAÍCES TAMBIÉN SON POTENCIAS
9. a)
∫2x
3
1/2
= x 3/2 = √ x 3
Unidad 12. Cálculo de primitivas
b)
∫ 2 √x = ∫ 2 x
3
3
1/2
= x 3/2 = √ x 3
1
10. a)
∫ √x = 3 ∫ 2 x
11. a)
∫ √3x = ∫ √3 √x = √3 ∫ √x =b)
2
∫
√ 2x =
5
3
∫
1/2
5
5
∫2x
13. a)
∫ 2 √ x = 3∫ 2 √ x
14. a)
∫ √x = ∫ x
s
–1/2
∫
5
3/2
=
15
3
15
b)
b)
2 √x5
x 5/2
=
5
5/2
∫ √5x = 5 ∫ 2 √5x
b)
∫ √7x
3
∫ 5x
=
b)
= 3 √x
∫ 2 √x = √x
b)
1
∫ 2x + 6 = 2 ∫ 2x + 6 = 2 ln |2x + 6|
1
3
5
6
=
6 √ 5x
5
∫
2 √ 7x5
= √7 √x3 =
5
¿RECUERDAS QUE D (ln x) = 1/x?
15. a)
∫x
16. a)
∫ x + 5 = ln |x + 5|
s
∫
2 √3
2 √ 3x 3
√x3 =
3
3
= x 1/2 = √ x
3
3
∫
14 √ x 3
b) 7 √ x = 7 √ x =
3
√ 2 √ x = √ 2 √ x = √ 2 · 2 √ x 3 = 2 √ 2 √ x 3 = 2 √ 2x 3
12. a)
1
2 3/2 2 √ x 3
x=
3
3
=
1
= ln |x|
1
1
1
5
3
∫ 5x
5
3
1
ln |5x|
5
=2
3
ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
∫
∫
17. a) cos x = sen x
∫
(
18. a) cos x +
b) 2 cos x = 2 sen x
)
(
π
π
= sen x +
2
2
)
∫
b) cos 2x =
∫
1
1
2 cos 2x =
sen 2x
2
2
∫
b) sen x = – cos x
∫
∫
b) sen 2x =
19. a) (–sen x ) = cos x
∫
20. a) sen (x – π) = – cos (x – π)
∫
21. a) (1 + tg2 2x ) =
∫
∫
1–1
2 sen 2x =
cos 2x
2
2
∫
1
1
2(1 + tg 2 2x) =
tg 2x
2
2
∫
∫
∫
b) tg2 2x = (1 + tg 2 2x – 1) = (1 + tg 2 2x) – 1 =
Unidad 12. Cálculo de primitivas
1
tg 2x – x
2
2
s
ALGUNAS EXPONENCIALES
∫
∫
b) e x + 1 = e x + 1
22. a) e x = e x
∫
∫
∫
1
1
2e 2x = e 2x
2
2
23. a) e 2x =
b) e 2x + 1 =
∫
1
1
2e 2x + 1 = e 2x + 1
22
Página 331
1. Calcula las siguientes integrales:
∫
a) 7x 4
b)
∫
e)
d)
3
√ 5x 2
∫
c)
∫
—
—
√x + √5x3
3
f)
3x
∫ √x
∫
√ 5x3
∫
1 = x –2 = x –1 + k = –1 + k
x
–1
x2
∫
3/2
2 √x3
√ x = x 1/2 = x
+k =
+k
3
3/2
∫
∫
∫
3
d) √ 5x 2 =
e)
c)
2
x5
7x 5
+k =
+k
5
5
a) 7x 4 = 7
b)
∫ x1
∫—
∫
5/3
3
3 √ 5x 5
√ 5 x 2/3 = √ 5 x
+k =
+k
5
5/3
3
3
—
√ x + √ 5x3 =
3
3x
∫
∫
x 1/3
+
3x
—
√ 5 x 3/2 = 1 x –2/3 + √ 5 x 1/2 =
3x
3
∫
3
∫
√ 5 x 3/2 + k = 3 x + 2 √ 5x 3 + k
1 x 1/3
√
+
3 3/2
9
3 1/3
—
—
—
—6 —
√ 5 · x3/2
√5
√ 5 x 13/6
6 √ 5 √x 13
= 3 — x 7/6 = 3 —
+k=
+k
3—
3—
√ 3 · x1/3
√3
√ 3 13/6
13 √ 3
=f)
∫
√ 5x3 =
∫
∫
2. Calcula:
a)
∫
x 4 – 5x 2 + 3x – 4
x
b)
∫
x 4 – 5x 2 + 3x – 4
x+1
c)
∫
7x 4 – 5x 2 + 3x – 4
x2
d)
∫
x3
x–2
a)
∫
x 4 – 5x 2 + 3x – 4
=
x
Unidad 12. Cálculo de primitivas
∫(
x 3 – 5x + 3 –
)
4
x4
5x 2
=
–
+ 3x – 4 ln |x| + k
x
4
2
3
b)
∫
x 4 – 5x 2 + 3x – 4
=
x+1
=
∫ (x...
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