Integrales

Matem´ticas 2 - Dpto. de Matem´tica Aplicada
a
a
Relaci´n 4: Integral definida. C´lculo de Primitivas. Aplicaciones de la Integral
o
a

Lecci´n 1: Integral definida
o

1. Usar una partici´n regular con n = 4 para estimar el ´rea A bajo la gr´fica de f (x) = x2 sobre [0, 1] mediante
o
a
a
∗ como los puntos medios de los subintervalos.
una suma de Riemann eligiendo los xi
2. Usar unapartici´n regular con n = 6 y las sumas de Riemann inferior y superior para estimar el ´rea bajo
o
a
la gr´fica de f (x) = 1/(x + 1) sobre [0, 1].
a
4

1

(f − g )(x) dx = 10,

3. (a) Si

4

(f + g )(x) dx = 3 y

1

4

0

4

2

f (t) dt = −5 y

(c) Si

g (x) dx?
2

2

5

1

5

g (x) dx = 5, ¿Cu´nto vale
a

2g (x) dx = 6 y

g (x) dx = 4,

4

2 · f(t) dt = −1 hallar el valor de

1

g (x) dx
0

8

1

8

(b) Si

1

g (x) dx = 5, ¿Cu´nto vale
a

1

f (t) dt.
2

4. Calcular los siguientes l´
ımites:
(a)

(c)

(e)

(g)
(i)

n
n
+ ··· +
(n + 1)2
(n + n)2

l´
ım

n→∞

(b)

1
2
n
+2
··· + 2
n→∞
+1 n +4
n + n2
√
√
√
n
n
e + e2 + · · · + n en
l´
ım
n→∞
n
l´
ım

(d)

n2

1
l´
ımn→∞ n8
1+

l´
ım

n→∞

(f)

l´
ım

n→∞

1
1
+ ··· +
n+1
n+n

n
n
n
+2
··· + 2
n→∞
+1 n +4
n + n2
√
√
√
n
n
n
e + e2 + · · · + e2n
l´
ım
n→∞
n
l´
ım

n2

n

n

k

7

(h)

k=1
√

2 + ··· +
n3/2

√

n

(j)

l´
ım

n→∞

k=1

1
sen
n

kπ
n

n3
1
n3
+2
+ ··· +
(n2 + 1)2 (n + 22 )2
4n

l´
ım

n→∞

5. Hallar laderivada de las siguientes funciones:
t2

−3

t

x2 dx

(a)

sen2 x dx

(b)

0

t

t

ex dx

(c)
0

1

x2 dx.

6. Hallar el valor exacto de
0

7. Dada la funci´n
o
f (x) =

2x + 3
x

si
si

x≤2
x>2

3

Calcular

f (x) dx.
−4

8. Hallar el ´rea de la regi´n bajo la gr´fica de y = sen x entre 0 y π .
a
o
a

1

(d)
−2t

1
dx
1 + x29. Usar el teorema fundamental, propiedades de la integral definida y geometr´ para evaluar las siguientes
ıa
integrales definidas:
1

2

x4 dx

(a)
−1
8

(d)
1

1

(e)

sec2 x dx
0

0

1

x2 dx

(h)

−π/6

(i)
0

ln 6

et dt

(k)

3

e−x dx

1

(m)



√

0

x3 + 1
dx

d






1

3

2

(n)

2

4dt
−1

dx

(o)

x0

−2

π /2

(sen x − cos x)

(p)

e

(−4) dx

(q)

π/4

x+2
dx
x

(l)

ln 2

0

1 − x2 ) dx

(x

1

ln 5

dx

π /4

(f)

0

sec t tg tdt

(j)

1

4 cos tdt

π /3

√
2
+x
x2

(c)

π /2

y 1/3 + y 1/2
dy
y

(g)

4

dt
t2

(b)

(r)

3

1

d3
(x2 + 3x − 1)
dx3

dx

2
dy
y

10. Usar las propiedades de laintegral definida y el teorema fundamental para hallar las siguientes derivadas:
(a)

(d)

d
dt
d
dt

t

x2 dx

(b)

1
3t
1

1
dx
4 + x2

(e)

d2
dt2
d
dt

t

x2 + 1 dx

(c)

2
t3
t2

1
dx
4 + 3 x2

(f)

−1

t

d
dt

x2 + 4 dx +
2

d2
dt2

x2 + 4 dx
t

t

3 + 4x2 dx
−t

Lecci´n 2: C´lculo de Primitivas
o
a
1. Resolver las siguientesintegrales:
(x3 + 2x2 + 1) dx

(a)

(b)

2x

x2 + 1 d x

(c)

x2 sen x3 dx

(d)

cos 3t
dt
(1 + sen 3t)5

2. Usar integraci´n por partes para resolver las siguientes integrales:
o
(a)

x sen 5x dx

(b)

x3 cos x2 dx

(c)

x3 ex dx

(d)

x5 sen x3 dx

(e)

x cosec2 x dx

(f)

x3 dx
√
3
9 − x2

(g)

x5 e−x dx

(h)

x3

(i)

ex sen x dx3

4 − x2 dx

3. Resolver las siguientes integrales de funciones racionales:
(a)

2x2 + 2x − 2
dx
x3 + 2 x

(b)

2x2 − 3x + 3
dx
x3 − x2 + x − 1

(c)

3x3 + 3 x2 − 5x + 7
dx
x4 − 1

(d)

x+3
dx
2 − 5x + 7
x

(e)

x+4
dx
2 − x + 1)2
(x

(f)

x3 + 2 x2 + 2 x + 1
dx
(x2 − x + 1)2

(g)

x6 − 2
dx
x4 + x2

(h)

(i)

1
dx
(1 + x2 )2

x2

x−2...