Integrales

Prof. Susana López Universidad Autónoma de Madrid

1

Tema 7: Cálculo Integral 1
1.1

Cálculo de Primitivas
Conceptos preliminares

Definición 1 (Función primitiva o antiderivada) Diremos que la función F(x) es una función primitiva o antiderivada de f(x) si F 0 (x) = f (x) para todo punto x ∈ Dom (f ) . Definición 2 (Integral Indefinida) Dada la función f, se llama integral indefinida de fal conjunto de todas las funciones primitivas de f Z f (x) dx = F (x) + K donde C es una constante arbitraria, siendo F una primitiva cualquiera de f.

1.2

Integrales inmediatas y métodos de integración

Existen ciertas integrales que son inmediatas y nos servirán para cálculos posteriores. • • • • • • • • R R R kdx = kx + K xn dx =
1 dx x 1 xn+1 n+1

R

+ K para todo n 6= −1

= lnx + K

ex dx = ex + K ax dx =
1 x a ln a

R

R

+K

tan xdx = − ln (cos x) + K R R R 1 • cos2 x dx = (1 + tan2 x) dx = sec2 xdx = tan x + K

R

sin xdx = − cos x + K cos xdx = sin x + K

R

Prof. Susana López • • • R R
1 dx sin2 x

2 (1 + cot2 x) dx = R csc2 xdx = − cot x + K

=

= arctan x + K ¯ ¯ √ R 1 • √1+x2 dx = ln ¯x + 1 + x2 ¯ + K Propiedades: Z d dx f 0 (x) dx =f (x) Z

R

√ 1 dx 1−x2 1 dx 1+x2

= arcsin x + K

R

1. Si f es derivable

2. Si f es integrable

f (x) dx = f (x)

3. Para toda f y g integrables. Z Z Z f (x) ± g (x) dx = f (x) dx ± g (x) dx 4. Para todo escalar a ∈ R y toda función integrable Z Z af (x) dx = a f (x) dx Cuando una función no es inmeditamente integrable existen distintos métodos de integración que nos podránayudar a la hora de calcular su integral. 1.2.1 Cambio de variable:

Sea ϕ una función con derivada ϕ0 continua, y sea f una función continua. Entonces, haciendo t = ϕ (x) tenemos entonces que dt = ϕ0 (x) dx Z Z 0 f (ϕ (x)) ϕ (x) dx = f (t) dt Ejemplo 1 I= Z e2x−5 dx

tomamos t = 2x − 5 de manera que dt = 2dx luego dx = 1 dt sutituyendo tenemos 2 Z Z Z 1 1 1 et dt = et + K I = e2x−5 dx = et dt = 22 2

Prof. Susana López Ejemplo 2 Z

3

I=

x3 cos x4 dx

tomamos t = x4 de manera que dt = 4x3 dx, sustituyendo obtenemos Z Z 1 1 3 4 I = x cos x dx = cos tdt = sin t + K 4 4 A través del método de cambio de variable tenemos que las siguientes integrales se convierten en inmediatas: • • • • • • • R R R [f (x)]n f 0 (x) dx =
f 0 (x) dx f (x) 1 n+1

R

[f (x)]n+1 + K para todo n 6=−1

= ln f (x) + K

f 0 (x) ef (x) dx = ef (x) + K f 0 (x) af (x) dx =
1 f (x) a ln a

R

+K

R

f 0 (x) sin f (x) dx = − cos f (x) + K f 0 (x) cos f (x) dx = sin f (x) + K

f 0 (x) tan f (x) dx = − ln (cos f (x)) + K R f0 R R • cos2(x) dx = (1 + tan2 f (x)) dx = sec2 f (x) dx = tan f (x) + K f (x) • • • • R R
f 0 (x) dx sin2 f (x)

R

=

√ f (x)

0

1−f (x)2

dx =arcsin f (x) + K

R

(1 + cot2 f (x)) dx =

R

csc2 f (x) dx = − cot f (x) + K

R

f 0 (x) dx 1+f (x)2

R

√ f (x)

0

1+f (x)

= arctan f (x) + K ¯ ¯ q ¯ ¯ 2¯ dx = ln ¯x + 1 + f (x) ¯ + K 2 ¯

Prof. Susana López 1.2.2 Integración por partes:

4

Este método se suele emplear cuando tenemos en el integrado el producto de dos funciónes. Si u y v son dos funciones de x talesque sus derivadas son continuas entonces: Z Z udv = uv − vdu Consideremos distintas situaciones que pueden aparecer en las que aplicaremos integración por partes. R • P (x) ln xdx donde P (x) es un polinomio. En este caso tomaremos
1 u = ln x du = x dx R dv = P (x) dx v = P (x) dx

de manera que

I = P (x) ln x − Ejemplo 3 Z

Z

1 x

µZ

¶ P (x) dx dx

I= tomamos

x ln xdx

1 u= ln x du = x dx dv = xdx v = 1 x2 2

entonces 1 I = x ln xdx = x2 ln x − 2 Z 1 2 1 = x ln x − xdx = 2 2 1 2 1 = x ln x − x2 + K 2 4 R Z Z 1 21 x dx = 2 x

•

R P (x) sin x dx o P (x) cos x dxdonde P (x) es un polinomio. R En el caso P (x) sin x dx tomaremos u = P (x) du = P 0 (x) dx dv = sin xdx v = − cos xdx

Prof. Susana López de manera que I = sin x ln x + En el caso R P (x) cos x...