IntegralesDobles4

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4.
4.1.

Integrales param´etricas e integrales dobles y triples.

Eleonora Catsigeras.

19 Julio 2006.

Cambio de variables en integrales dobles y triples.
Teorema de cambio de variables.

4.1.1. Cambios de variables en dominios de R2 .
En lo que sigue el conjunto E, contenido en el plano de variables (u, v), es un dominio descomponible en dominios simples respecto de u o respecto de v.
Sedice que una funci´
on α : E → R es de clase C 1 si es continua en E, diferenciable, con
derivadas parciales continuas para todo (u, v) en el interior de E, y tal que las derivadas parciales
se extienden en forma continua al borde de E.
Sea Φ(u, v) = (α(u, v), β(u, v)), tal que Φ : E → R2 . Se dice que de clase C 1 si α y β lo son.
Se dice que Φ : E → D es un cambio de variables de clase C 1 si,adem´
as de todo lo anterior,
se cumple:
D = Φ(E) y
Φ es inyectiva (y por lo tanto invertible) del interior de E al interior de D. 12
Teorema 4.1.2. Cambio de variables en integrales dobles.
Sea (x, y) = Φ(u, v) = (α(u, v), β(u, v)) un cambio de variables de clase C 1 que transforma
(u, v) ∈ E en (x, y) ∈ D = Φ(E).
Si el Jacobiano13
J(u, v) = 0
en el interior de E, entonces, para toda funci´
oncontinua f en D, se cumple:
f (x, y) dx dy =
E=Φ−1 (D)

D

f (α(u, v), β(u, v)) · |J(u, v)| dudv

Demostraci´
on: En la siguiente prueba hay varios detalles t´ecnicos, que especificamos como
llamadas al pie, cuya demostraci´
on rigurosa es engorrosa y omitimos.
Se presupone en el enunciado que E y D son descomponibles en simples; de lo contrario (hasta
ahora) no tendr´ıamos definida las integralesdobles iteradas en E o en D. No es restrictivo suponer
que E es simple, ya que la integral en los dominios descomponibles en simples, por la definici´
on
2.3.2, es la suma de las integrales en los dominios simples que lo componen; si probamos la igualdad
de la tesis para todo conjunto simple E, sumando esas igualdades, se cumple para todo conjunto
descomponible en simples. Consideremos E ⊂ [a, b] ×[c, d] en el plano (u, v), suponiendo para fijar
ideas que E es simple respecto de u; si fuera simple respecto de v los argumentos son los mismos
intercambiando los roles de las variables u y v entre s´ı.
Sea
I=
f (α(u, v), β(u, v)) · |J(u, v)| dudv (1)
E=Φ−1 (D)

12
Se puede probar que, con dominio en el interior de D e imagen en el interior de E, existe y es continua la funci´
on
inversa (u, v) =(Φ)−1 (x, y) = (u(x, y), v(x, y)).
13
Se define el Jacobiano J(u, v) de la funci´
on (x, y) = (α(u, v), β(u, v)) como el determinante de la matriz cuadrada
2 × 2 que tiene como primera fila (αu , αv ) y como segunda fila (βu , βv ), donde αu , αv indica las derivadas parciales
de α respecto de u y de v (y an´
alogamente βu y βv ). Es decir :

J(u, v) = αu · βv − αv · βu

Integrales param´etricase integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras.

19 Julio 2006.

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Aplicaremos la proposici´
on 2.1.7 que iguala la integral doble iterada I a un l´ımite iterado de
sumas de Riemann. Se cumple:
n

I = l´ım

m

l´ım

∆u→0 ∆v→0

i=1 j=1

f (α(ui , vj ), β(ui , vj )) · |J(ui , vj )| ∆u∆v

(2)

donde para cada pareja de naturales n y m mayores que uno, se eligi´o la partici´
on del intervalo
[a,b] en n subintervalos iguales de longitud ∆u = (b − a)/n y la partici´
on del intervalo [c, d] en m
subintervalos iguales , ∆v = (d − c)/m; con respectivos puntos intermedios :
a = u0 < u1 < . . . < ui−1 < ui < . . . < un = b tales que ui+1 −ui = ∆u en el intervalo [a, b]

(3)

c = v0 < v1 < . . . < vj−1 < vj < . . . < vm = d tales que vj+1 −vj = ∆v en el intervalo [c, d]

(4)

Adem´as porconvenci´on en la igualdad (2), es f (x, y) = 0 si (x, y) ∈ D = Φ(E); es decir, el
sumando de la suma de Riemann a la derecha de la igualdad (2) es nulo si (ui , vj ) ∈ E.
Llamaremos Ri,j al rectangulito en el plano u, v determinado por las particiones anteriores de
los intervalos [a, b] y [c, d]; es decir: Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ].
Aplicando el cambio de variables14 Φ : (u, v) → (x, y), se...