Intermedio

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DATOS PERSONALES

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OLIMPIADAS COLOMBIANAS DE MATEMATICAS
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PRUEBA DE SELECCION
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XVI OLIMPIADA MATEMATICA DE CENTROAMERICA Y EL CARIBE
ianasde
26 de Abril de 2014
mb
lo

Nombre
Nombre Colegio:
Direcci´n:
o

Tel´fono:
e

E-mail:

Fecha de nacimiento (d/m/a):

Puntajes 1:
5:

2:
6:

7:

3:
8:

/

/

4:
TOTAL:´
Tiempo Maximo: 4 1 horas.
2
Problemas
A continuaci´n, usted encontrar´ ocho problemas con sus respectivos puntajes. Cada problema
o
a
debe ser justificado, escribiendo en las hojas enblanco el razonamiento usado para llegar a la
soluci´n. Escribir solo una respuesta num´rica valdr´ m´ximo 1 punto. Su puntaje total
o
e
a a
ser´ la suma de los puntajes obtenidos en los ochoproblemas (y se dar´n puntos parciales
a
a
por avances en las soluciones).
u
ıgito de la siguiente manera:
1. [3 puntos] A cada n´mero natural de dos cifras se le asigna un d´
Se multiplican suscifras. Si el resultado es un d´
ıgito, ´ste es el d´
e
ıgito asignado. Si el resultado
es un n´mero de dos cifras se multiplican estas dos cifras, y si el resultado es un d´
u
ıgito, ´ste es
e
eld´
ıgito asignado. En caso contrario, se repite la operaci´n. Por ejemplo el d´
o
ıgito asignado a 32
es el 6 pues 3 × 2 = 6 ; el d´
ıgito asignado a 93 es el 4 pues 9 × 3 = 27, 2 × 7 = 14, y 1 ×4 = 4.
Hallar todos los n´meros de dos cifras a los que se les asigna el 8.
u
2. [3 puntos] Sean X = a1b9 y Y = 51ab dos n´meros enteros positivos donde a y b son d´
u
ıgitos. Se
sabe que X esm´ltiplo de un n´mero positivo n de dos cifras y Y es el siguiente m´ltiplo de ese
u
u
u
n´mero n. Hallar el n´mero n y los d´
u
u
ıgitos a y b. Justificar por qu´ no hay otras posibilidades.
eNota: dos m´ltiplos de un n´mero n son consecutivos (o uno es el siguiente del otro), si se
u
u
obtienen de multiplicar a n por dos n´meros consecutivos. Por ejemplo, 12 es m´ltiplo de 3 y
u...