INTERPLAGRANGEuap


UNIVERSIDAD “ALAS PERUANAS”
FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA

CURSO : MÉTODOS NUMÉRICOS
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1° Usando la forma de iteración de punto fijo:

, y con valor inicial (0.75; 0.75)

Hallar la intersección de las curvas x = sen(x+y) e y=cos(x-y) a la cual se converge con este valor inicial propuesto. |

2° Dado el sistema


Se tiene queuna solución está en el rectángulo [1,2]x[1,2].
Aplique el método de Newton (para sistemas) e itere 2 veces tomando como punto inicial
= (1.5,1.5) ¿Qué puede concluir de su precisión?.

3° Determine las raíces de las siguientes ecuaciones no lineales simultáneas usando:

a.- El método de iteración de Punto Fijo.
b.- El método de Newton-Rapshon.



Emplee los valores iniciales

4°Encontrar todas las soluciones del sistema:






con un error inferior a usando el método de Newton.



5° considere el sistema :

f(x,y) = 0.5sen(xy) – 0.0795y-0.5x =0
g(x,y) =0.9204 (-2.7182)+0.8652y-5.4365x = 0

Se desea resolver el sistema usando el método de Newton y teniendo en cuenta lo siguiente:
-Punto inicial ((0.7623, 3.5985)
-La evaluación de las funciones y sus derivadas.Redondear a 4 decimales.
- Los valores de cada iteración redondear a 4 decimales.

Indicar:
i) Las primeras cifras significativas de .
ii) Las 2 primeras cifras significativas de .
iii) Las 2 primeras cifras significativas de .
iv)El número de cifras significativas exactas que tiene .


APROXIMACION DE FUNCIONES USANDO EL POLINOMIO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE



Teorema 1:
Sean , j = 0,1,…, n puntos distintos. Entonces existe u es único el polinomio de grado menor o igual a n, que satisface:

, j = 0, 1, 2, ,…,n.

Demostración:
Para probar la existencia de , construiremos primero las funciones:

, k = 0, 1,, n

Se puede observar que para j = 0, 1, 2,, n, se cumple:

;

entonces

Vemos que , realmente es un polinomio de grado menor o igual a n, ya que es la suma de lasfunciones , y cada una de estas funciones es un polinomio de grado menor o igual a n.

Este polinomio se conoce con el nombre de polinomio de interpolación de Lagrange.
Para probar que es único, supongamos de que si es otro polinomio distinto a , con las mismas características; esto es, , entonces , se anula en los (n+1) – puntos :,lo que es imposible ya que h(x) es un polinomio de grado menor oigual a n.




Aplicación:
Las densidades de sodio para tres temperaturas estan dadas como sigue:
Determine la densidad para T = 251°C utilizando la interpolación de Lagrange.

i
T:temperatura
ρ:densidad
0
94°C
929kg/
1
205
902
2
371
860


POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Si se quisiera agregar un punto de interpolación al conjuntode puntos dados, hay que proceder a calcular las funciones nuevamente; es decir el conocimiento de las funciones para un conjunto de nodos, no nos ayuda a contruir las funciones para un conjunto de nodos ampliado por uno o más puntos de interpolación.Esto es una gran desventaja para los polinomios de interpolación de Lagrange. Sin embargo se puede encontrar una forma más eficiente, para unpolinomio de interpolación basado en un conjunto de nodos ampliado.

Veamos:
a.- Si tenemos dos puntos de interpolación: , el polinomio de grado 1, puede presentarse de la forma:


=

b.- En caso de 3 puntos de interpolación : ,, el polinomio puede presentarse forma :





=

=Observando y , podemos notar que = + .



Además de que el 2° sumando y tienen la misma estructura, a través del concepto de diferencias divididas, que definiremos a continuación.

DIFERENCIAS DIVIDIDAS

En general dado: , k puntos distintos. Se define la diferencia dividida de orden k, como la diferencia dividida de orden 1 de las diferencias divididas de orden (k-1), como:



Así para ,...