interpolacion

Cap´
ıtulo 5

M´todos de Interpolaci´n
e
o
5.1.

Interpolaci´n Lineal
o

Dados dos puntos (xk , yk ) y (xk+1 , yk+1 ), si se desea encontrar un valor de y para una x dada dentro de un
intervalo, se utiliza la siguiente ecuaci´n (por tri´ngulos semejantes)
o
a

(xk+1 , yk+1 )
(x, y)

(xk , yk )

Figura 5.1: Interpolaci´n lineal.
o
yk+1 − yk
y − yk
=
x − xk
xk+1 − xk(5.1)

yk+1 − yk
xk+1 − xk

(5.2)

y despejando para y, tenemos
y = yk +

5.2.

(x − xk )

Polinomio de Interpolaci´n Unico
o ´

Suponer que se tienen (n + 1) pares de datos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . ., (xn , yn ) representando (n + 1) puntos de
la gr´fica de una funci´n y = f (x), cuya forma expl´
a
o
ıcita no se conoce. Las xi , i = 0, . . . , n se asumen con
valoresdistintos, es decir, la funci´n es continua.
o
El polinomio que se va a encontrar debe satisfacer las siguientes restricciones:
Pn (xi ) = yi ,
77

i = 0, . . . , n

(5.3)

c 1997–2006. Dr. Horacio Mart´nez Alfaro
ı

M´todos Num´ricos
e
e

asumiendo un polinomio Pn (x) de la forma
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

(5.4)

Al tener que cumplir con las restricciones (5.3),se generan (n + 1) ecuaciones en (n + 1) inc´gnitas; siendo
o
´stas los coeficientes ai ’s:
e
a0 + a1 x0 + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn
0
0
0
a0 + a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn
1
1
1
a0 + a1 x2 + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn
2
2
2
.
.
.

a0 + a1 xn + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn
n
n
n
y en forma matricial:

⎡
1
⎢1
⎢
⎢1
⎢
⎢
⎣
1

x0
x1
x2
xn

x2 · ·· xn
0
0
x2 · · · xn
1
1
x2 · · · xn
2
2
.
.
.

⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣

x2 · · · xn
n
n

a0
a1
a2
.
.
.

⎤

⎡

⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥=⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣

an

=
=
=

y0
y1
y2
.
.
.

=
=
y0
y1
y2
.
.
.

(5.5)

yn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

(5.6)

yn

Resolviendo el sistema encontramos los valores del vector a = [a0 a1 a2 · · · an ]T .
Ejemplo 5.1Encontrar el polinomio de interpolaci´n unico para los valores:
o ´
(10, 0.1763), (20, 0.3640) y (30, 0.5774)
e interpolar el valor x = 21.
Soluci´n
o

⎡

1 10
⎣1 20
1 30

P2 (x) = a0 + a1 x + a2 x2
⎤ ⎡
⎤⎡
⎤
⎡
⎤
100
0.1763
a0
0.0143
400 ⎦ ⎣ a1 ⎦ = ⎣ 0.364 ⎦ ⇒ a = ⎣ 0.014915 ⎦
a2
900
0.5774
0.0001285
P2 (x) = 0.0143 + 0.014915x + 0.0001285x2

y evaluando para x = 21: P(21) = 0.3841835 . La figura 5.2 muestra los datos y la funci´n de interpolaci´n.
o
o

5.3.

Polinomio de Interpolaci´n de Lagrange
o

Las condiciones que se tienen son las mismas que para el polinomio unico; sin embargo, la forma del polinomio
´
cambia:
(5.7)
Pn (x) = y0 b0 (x) + y1 b1 (x) + y2 b2 (x) + · · · + yn bn (x)
donde bk (x) es un polinomio de grado n. El polinomio Pn (x)cumple con las siguientes restricciones:
Pn (xi ) = yi ,
78

i = 0, . . . , n

(5.8)

c 1997–2006. Dr. Horacio Mart´nez Alfaro
ı

M´todos Num´ricos
e
e

0.5

0.4

0.3

0.2
10

15

20

25

30

Figura 5.2: Datos de interpolaci´n y funci´n P2 (x) de interpolaci´n
o
o
o
Si desarrollamos el polinomio Pn (xi ), tenemos:
y0 b0 (xi ) + y1 b1 (xi ) + y2 b2 (xi ) + · · · +yn bn (xi ) = yi ,

i = 0, . . . , n

(5.9)

generando (n + 1) ecuaciones:
y0 b0 (x0 ) + y1 b1 (x0 ) + y2 b2 (x0 ) + · · · + yn bn (x0 )
y0 b0 (x1 ) + y1 b1 (x1 ) + y2 b2 (x1 ) + · · · + yn bn (x1 )
.
.
.

=
=

y0 b0 (xn ) + y1 b1 (xn ) + y2 b2 (xn ) + · · · + yn bn (xn ) =

y0
y1
.
.
.

(5.10)

yn

Examinando las ecuaciones, se observa que si los bk (x) se definen comobk (xj ) = δkj =

1, k = j
,
0, k = j

(5.11)

las ecuaciones se logran satisfacer.
Ya que cada bk (x) es un polinomio de grado n que tiene distintas ra´
ıces en x0 , x1 , x2 , . . ., xk−1 , xk+1 , . . .,
xn , ´ste se puede expresar de la siguiente forma:
e
bk (x) = Kk (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn )

(5.12)

y las constantes Kk se pueden...