Interpolacion

ecordemos algunos conceptos:

Dato: Valor numérico.
Tabla de valores: Conjunto de pares ordenados.

Suponiendo que contamos con un set de datos en forma de tabla 1D (xi,yi), se pueden dar dos situaciones:

Los datos son "ruidosos", es decir, tienen errores de observación y su tabla no es funcional.
Los datos no son "ruidosos", es decir, carecen de errores de observación y su tabla esfuncional.
El primer grupo se modela mediante modelos de ajuste o "fitting", mientras que el segundo mediante modelos de interpolación. Esto último se refiere a encontrar una función que "pase" (o interpole) por todos los datos de la tabla, y es lo que se estudia en esta sección, particularmente con polinomios. Utilizando estos polinomios se puede aproximar el valor de la función original sobrepuntos que no conocemos por la tabla dada.

Sabemos que por n+1 puntos pasa un único polinomio de grado menor o igual a n, por lo que nuestro problema se puede resumir de la siguiente forma:

Dada (xi,yi) con i=0,1,⋯,n.
Hallar Pn tal que yi=Pn(xi) con i=0,1,⋯,n.

Vandermonde

Se define el polinomio de Vandermonde de la siguiente forma:

(1)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
con an̸ =0.

Parapoder obtener los coeficientes necesarios para construir el polinomio a través de los datos suministrados, se arma un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

(2)
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪y0y1yn==⋮=a0+a1x0+⋯+anxn0a0+a1x1+⋯+anxn1a0+a1xn+⋯+anxnn
y se resuelve la matriz asociada a dicho sistema.

Calcular los coeficientes del polinomio de Vandermonde es muy complicado, así que se suele usar como algo teoricopara demostrar que el polinomio es único.

Regla de Horner

Para evitar errores de redondeo al multiplicar las xn se puede utilizar esta regla para reescribir un polinomio:

(3)
P(x)=a0+x(a1+x(a2+x(a3+⋯)))
Lagrange

Se define el polinomio de Lagrange de la siguiente manera:

(4)Pn(x)=y0(x−x1)(x−x2)...(x−xn)(x0−x1)(x0−x2)...(x0−xn)+y1(x−x0)(x−x2)...(x−xn)(x1−x0)(x1−x2)...(x1−xn)+....+yn(x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)(xn−x0)(xn−x1)...(xn−xn−1)
Error:

(5)
EN(x)=(x−x0)(x−x1)...(x−xn)f(N+1)(c)(N+1)!
con c=c(x) en el intervalo [a,b].

Puede apreciarse que cada valor de yi está multiplicado por un polinomio de grado N−1 con la propiedad que vale 0 para cualquier xk con con k≠i y vale cuando k=i. VER: Es de grado N-1 o N cada polinomio?

Newton

Se propone el siguiente polinomio:

(6)Pn(x)=C0+C1(x−x0)+C2(x−x0)(x−x1)+⋯+Cn−1(x−x0)(x−x1)(x−x2)⋯(x−xn−1)
Puede observarse que cuando x toma el valor de xi, los términos que siguen al (i+1)-ésimo se anulan. Para calcular los coeficientes Ci se utilizan diferencias divididas, que se definen como:

(7)
f[xk]f[xk−1,xk]f[xk−2,xk−1,xk]===f(xk)f[xk]−f[xk−1]xk−xk−1f[xk−1,xk]−f[xk−2,xk−1]xk−xk−2
y así sucesivamente (es recursivo).

Entonces, elpolinomio de Newton es:

(8)
Pn(x)=f[x0]+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0x1x2⋯xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)
El error es el mismo cometido por el polinomio de Lagrange. Esto se debe a que resultan ser el mismo polinomio, dado que existe un único polinomio de grado menor o igual a n que pasa por n+1 puntos.

Newton hacia adelante

Como los denominadores de las diferencias divididas siemprevan a ser kh, k=1,2,…,n, podemos redefinir las diferencias divididas:

(9)
Δ0f0Δ1f0Δnf0===f0=f(x0)f1−f0Δn−1fi+1−Δn−1fi
Entonces el polinomio queda

(10)
Pn(x0+ht)=Δ0f0+Δf0t+Δ2f02!t(t−1)+⋯+Δnf0n!t(t−1)(t−2)⋯(t−n+1)
Esto también se puede escribir asi:

(11)
Pn(x)=∑k=0n(tk)Δkf0
donde t=(x−x0)/h.

Newton hacia atrás

Hacemos algo parecido al caso anterior, pero ahora resulta que:(12)
∇0fi∇1fi∇nfi===fifi−fi−1∇n−1fi−∇n−1fi−1
El polinomio queda:

(13)
Pn(x)=∑k=0n(t+k−1k)∇kfn
con −k≤t≤0.

Nótese que el caso hacia adelante usa fuertemente los datos de la primera fila de la tabla, y aquí los del último. Esto puede convenir para reordenarlos si se sabe donde están los menos confiables.

Relación entre diferencias hacia adelante y hacia atrás...