Intervalos De Confianza

Intervalos de Confianza
Hasta ahora los estimadores estudiados son puntuales, es decir, exhiben un solo valor como
estimaci´on del par´
ametro de inter´es. Pero en muchos casos esto no es suficiente. A veces se
requiere de un rango de posibles valores para el par´ametro de inter´es, es decir, un intervalo
real donde se cree estar´
a el valor del par´ametro con una alta confianza.
Sea θ un par´ametro de inter´es y θˆ un estimador puntual de θ por intervalo, es un intervalo
ˆ
real de la forma (l, u) (l < θ < u), donde l y u dependen de θˆ y de la distribuci´on de θ.
Cada muestra aleatoria proporcionar´a un valor diferente para θˆ y por lo tanto valores
diferentes para l y u. As´ı, los extremos del intervalo en cuesti´on se convierten en v.a, las
cuales denotaremos L y U . El intervalo (L,U ) es llamado Intervalo Aleatorio.
Usando θˆ y su distribuci´
on es posible determinar L y U tales que P (L < θ < U ) = 1 − α,
α ∈ (0, 1), α dado. Para una muestra particular se obtiene el intervalo (l, u) donde se espera
est´e el verdadero valor de θ. El intervalo (l, u) ser´a llamado un intervalo de confianza al
100(1 − α) % para θ. l y u son llamados L´ımites de Confianza.
Por notaci´
on seescribe: I.C al 100(1 − α) % para θ. ”De todos los posibles intervalos de
confianza al 100(1 − α) % para θ, se espera que el 100(1 − α) % de ellos contenga el verdadero
valor de θ”.
El intervalo (l, u) se conoce como intervalo bilateral. Los intervalos (l, +∞) ´o (−∞, u) son
llamados unilaterales. (l ≤ θ ´
o θ ≤ u, respectivamente).
• Obtenci´
on de un I. C.
Sea X1 , . . . , Xn una m.a de unadistribuci´on f (x) que depende de un par´ametro θ desconocido
(dicha distribuci´
on es usualmente denotada f (x; θ)). Sea θˆ un estimador puntual para θ.
ˆ
Como θ es funci´
on de la m.a, se suele escribir θˆ = h(X1 , . . . , Xn ). Suponga adem´as que la
distribuci´
on de θˆ no depende de otros par´ametros desconocidos. Entonces, para α ∈ (0, 1)
dado, se pueden encontrar constantes a y b tal que
P (a Esto es posible ya que la distribuci´
on de θˆ es conocida. Suponga que de la desigualdad anterior
es posible despejar a θ, de esta manera se obtiene
P (L(X1 , . . . , Xn ) < θ < U (X1 , . . . , Xn )) = 1 − α
.

1

Para una m.a particular calculamos l(X1 , . . . , Xn ) y u(X1 , . . . , Xn ). Sea l = l(X1 , . . . , Xn ) y
u = u(X1 , . . . , Xn ). El intervalo (l,u) es un intervalo de confianza al 100(1 − α) % para θ.
• Intervalos de confianza para la Media con muestras grandes (n ≥ 30)
Caso 1: σ 2 conocida
Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblaci´on normal N (µ, σ 2 ) con media µ
desconocida y varianza σ 2 conocida. Hallemos L y U tales que P (L < µ < U ) = 1 − α,
α dado.

P (L < µ < U ) = P (−U < −µ < −L)
¯ −U ¯ −µ ¯ − L)
= P (X
¯ −U¯ −µ
¯ −L
X
X
X
√ <
√ )
= P( √ <
σ/ n
σ/ n
σ/ n
= P (Z1 < Z < Z2 )
Haciendo
P (Z < Z1 ) = P (Z > Z2 ) = α/2
Entonces
Z1 = −Zα/2 y Z2 = Zα/2
As´ı,
¯ − Zα/2
L=X

σ
√
n

¯ + Zα/2
yU =X

σ
√
n

Para una muestra particular se calculan valores para L y U y de esta manera un I.C. al
100(1 − α) % para µ es:
¯ − Zα/2 √σ , X
¯ + Zα/2 √σ
X
n
n
.
Ahora suponga que se desea saber o estimar el tama˜
no de lamuestra necesario para que con
una probabilidad de 1 − α la media muestral se encuentre a ε unidades alrededor de la media
de la poblaci´
on µ.
Es decir, se quiere que
¯ − µ| < ε) = 1 − α
P (|X

2

1−α=P
=P
=P
=P

¯ − Zσ/2 √σ < µ < X
¯ + Zσ/2 √σ
X
n
n
¯ + Zσ/2 √σ > −µ > −X
¯ − Zσ/2 √σ
−X
n
n
σ
¯ − µ < Zσ/2 √σ
−Zσ/2 √ < X
n
n
¯ − µ| < Zσ/2 √σ
|X
n

As´ı que,
Zα/2 σ
σ
ε = Zα/2 √ ⇒ n =
ε
n

2

EjemploUn fabricante produce anillos para los pistones de un motor de autom´ovil. De la experiencia
se ha encontrado que la dispersi´
on en los di´ametros es aproximadamente de 0.05 mm. Se
escogen al azar 35 anillos y se miden sus di´ametros. El di´ametro promedio result´o en 74.04
mm.
(a) Calcule en I.C. al 95 % para el di´ametro medio real de estos anillos.
(b) Si se desea que la precisi´
on del...

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