Introduccion a los metodos numericos

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Una pregunta muy natural que surge al introducirse en el estudio de los métodos numéricos, es la siguiente:
Porque sucedió todo esto?
Para introducir la forma de trabajar con métodos numéricos en la solución de problemas, veremos el siguiente:
PROBLEMA.
Calcular la velocidad instantánea de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie terrestre,suponiendo que la velocidad inicial del cuerpo es igual a 0 y que las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia del aire, la cual suponemos que es linealmente proporcional a la velocidad del cuerpo.
Solución Analítica.
Usamos la segunda ley de Newton, que establece:
F = m a
La cualpodemos escribir en la forma:

Las hipótesis sobre las fuerzas que actúan sobre el cuerpo nos indican que:

donde (g-constante de gravedad) es la fuerza de gravedad y (c-coeficiente de arrastre) es la fuerza de resistencia del aire.
Sustituyendo esto último obtenemos:Equivalentemente:

Que es nuestro modelo matemático del problema. En este caso identificamos nuestro modelo como una ecuación diferencial de primer orden de variables separables.
Procedemos a separar las variables:

Integramos ambos miembros de la ecuación:

De lo cual obtenemos:, (k-cte de integración)
Para calcular la constante de integración, usamos la hipótesis de que la velocidad inicial del cuerpo es 0. Esto es, si . Sustituyendo estos valores en la ecuación de arriba, obtenemos:

Con lo cual obtenemos:


Finalmente, despejamos en función de :La cual resuelve el problema de forma exacta.
Para fijar un ejemplo particular, supongamos que tenemos los siguientes datos:

Calculemos los valores .
Lo único que tenemos que hacer es sustituir los valores de m, c y g:


Finalmente sustituímos los valores del tiempo desde hasta yescribimos los resultados en la siguiente tabla:

t (s) v (cm/s)
0 0
1 854.7569
2 1500.76828
3 1989.01317
4 2358.02072
5 2636.91063
Esta tabla de valores, representa los valores exactos de las velocidades indicadas que se han obtenido por un método analítico.
A continuación veremos como podemos aproximar estos datos usando un método numérico.
Solución Numérica.
Primero que nada,recordemos que el modelo matemático del problema esta dado por:

Para usar un método numérico, recordemos cómo se define la derivada de una función:
Tenemos:

Cuando es cercano a , podemos quitar el límite y obtener la siguiente aproximación :
Lo cual, alsustituirlo en nuestro modelo matemático nos da:

De aquí podemos despejar y obtener lo siguiente:

Esta última fórmula, la cual es una fórmula recursiva, nos permite calcular la velocidad si conocemos la velocidad en el tiempo anterior . Nuestro punto de partida es que la velocidad inicial es 0, es decir, , y de aquípodemos calcular, con la ayuda de nuestra fórmula recursiva, la velocidad en tiempos subsecuentes. Evidentemente éstos cálculos son aproximaciones, y entre más cercanos sean los tiempos, mejores serán dichas aproximaciones.
Por ejemplo, retomando los datos que fijamos arriba, tenemos la fórmula:


Como dijimos arriba, comenzamos con . Para...