inversa de una matriz cuadrada a traves de la inversa

3.7.- Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

Antes de calcular la inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta repasaremos algunos conceptos:Menor complementario de un elemento
El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y sucolumna. Lo representamos por Mij.
Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a23 en la matriz :

Adjunto de un elemento
Es el menor complemantario con signopositivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna. Lo representamos por Aij

Matriz adjunta
Es la matriz que se obtiene al sustituircada elemento por su adjunto.

Matriz inversa
La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A-1 y que verifica:

Solamente tienen inversa las matricescuadradas cuyo determinante es distinto de cero.
Propiedades de la matriz inversa
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden.(A*B)-1 = B-1*A-1
Ejemplo: cálculo de la inversa de la matriz:

Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante:

Después calculamos cada uno de los adjuntos : 

Bibliografía:
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tdeterminantes.htm#adjunto
domingo, 27 de mayo de2012
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si detA≠0. Si detA≠0, entonces

Si detA≠0,entonces se demuestra que (1/detA)(adjA) es la inversa de A multiplicándola por A y obteniendo la matriz identidad:

Si AB=I, entonces B=A-1. Así, (1/detA)adjA=A-1