investigacion de operaciones

METODO ALGEBRAICO

El teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer un método de solucionar un problema con dos variables.
En un problema de I.O con dos variables, si existeuna solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región.
Si la función objetivo tomael mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan.
En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanzanecesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región
La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible nos va apermitir encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos.
EJEMPLO
Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 8y
sujeto a: 4x + 5y 40
2x + 5y 30
x 0 , y 0
1) Hallar los puntos de corte delas rectas asociadas a las restricciones:
Calculamos las soluciones de cada uno de los seis sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden formar con las cuatro restricciones:
{ 4x +5y = 40 , 2x + 5y = 30}. Solución A(5,4) { 4x + 5y = 40 , x = 0 } Solución:B (0,8)
{ 4x + 5y = 40 , y = 0}. Solución: C(10,0) { 2x + 5y = 30 , x = 0} Solución: D(0,6)
{ 2x + 5y = 30 , y = 0}.Solución : E(15,0) { x = 0, y = 0} Solución: O(0,0)
2) Determinar los vértices de la región factible:
Los vértices de la región factible son aquellos puntos que cumplen todas las restricciones.
Sisustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que:
• B no cumple la segunda restricción 2x + 5y 30 , ya que 2•0 + 5•8 = 40 . Por tanto, el punto B no es un vértice de la región factible.• E no cumple la primera restricción 4x + 5y 40 , ya que 4•15 + 5•0 = 60 . Por tanto, el punto E no es un vértice de la región factible.
Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades,...