Investigacion

Independencia Lineal
Un conjunto de vectores ∀x,xi∈Cn:({x1,x2,…,xk}) es linealmente independiente si ninguno de los vectores puede escribirse como una combinación lineal de los otros.

DEFINITION 1: 1 Linealmente Independiente
Un conjunto dado de vectores {x1,x2,…,xn}, es linealmente independiente si
c1x1+c2x2+…+cnxn=0
solo cuando c1=c2=…=cn=0
EJEMPLO
Dados los siguientes dos vectores:x1=(32)
x2=(-6-4)
Estos son no linealmente independientes por el siguiente argumento, el cual por inspección, se puede ver que no se apega a la definición anterior de independencia lineal:
(x2=-2x1)⇒(2x1+x2=0)
. Otro método para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores. Observando estos dos vectores geométricamente (como en la siguiente Figura 1), uno puede otra vezprobar que estos vectores son no linealmente independientes.

Figura 1: Representación gráfica de dos vectores que no son linealmente independientes.

EJEMPLO 1
Dados los siguientes dos vectores:
x1=(32)
x2=(12)
Estos son linealmente independientes ya que
c1x1=−(c2x2)
solo si c1=c2=0. Basados en la definición, esta demostración muestra que estos vectores son linealmente independientes.También podemos graficar estos dos vectores (véase Figura 2) para checar la independencia lineal.

Figura 2: Representación gráfica de dos vectores que son linealmente independientes.

EXERCISE 1
¿Son {x1,x2,x3} linealmente independientes?
x1=(32)
x2=(12)
x3=(-10)

[ SHOW SOLUTION ]
Como podemos ver en los dos ejemplos anteriores, a veces la independencia de vectores puede ser vistafácilmente a través de una gráfica. Sin embargo esto no es tan sencillo, cuando se nos dan tres o más vectores. Puede decir fácilmente cuando o no estos vectores son independientes Figura 3. Probablemente no, esto es, por lo cual el método usado en la solución anterior se vuelve importante.

Figura 3: Gráfica de tres vectores. Puede ser mostrado que la combinación lineal existe entre los tres, y por lotanto estos son no linealmente independientes.

OBSERVACIÓN: Un conjunto de m vectores en Cn no puede ser linealmente independiente si m>n.
Subespacio Generado
DEFINITION 2: Subespacio Generado
El subespacio generado o span del conjuto de vectores {x1,x2,…,xk} es el conjunto de vectores que pueden ser escritos como una combinación lineal de {x1,x2,…,xk}
subespaciogenerado({x1,…,xk})={∀α,αi∈Cn:(α1x1+α2x2+…+αkxk)}
EJEMPLO
Dado el vector
x1=(32)
el subespacio generado de x1 es una linea.

EJEMPLO
Dado los vectores
x1=(32)
x2=(12)
El subespacio generado por estos vectores es C2.

Bases
DEFINITION 3: Base
Una base para Cn es un conjunto de vectores que: (1) generan Cn y (2) es linealmente independiente.
Claramente, un conjunto de n vectores linealmente independientes es una basepara Cn.

EJEMPLO 2
Dado el siguiente vector
ei=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜0⋮010⋮0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
donde el 1 esta siempre en la i-esima posición y los valores restantes son ceros. Entonces la base para Cn es
{∀i,i=[1,2,…,n]:(ei)}
NOTE: {∀i,i=[1,2,…,n]:(ei)} es llamada la base canónica.
EJEMPLO 3
h1=(11)
h2=(1-1)
{h1,h2} es una base para C2.

Figura 4: Gráfica de bases para C2

Si {b1,…,b2} es unabase para Cn, entonces podemos expresar cualquier x∈Cn como una combinación lineal de bi's:
∀α,αi∈C:(x=α1b1+α2b2+…+αnbn)

EJEMPLO 4
Dado el siguiente vector,
x=(12)
escribiendo x en términos de {e1,e2} nos da
x=e1+2e2

EXERCISE 2
Trate de escribir x en términos de {h1,h2} (definidos en el ejemplo anterior).

[ SHOW SOLUTION ]
En los dos ejemplos de bases anteriores, x es el mismo vectoren ambos casos, pero podemos expresarlo de varias diferentes maneras (dimos solo dos de las muchas posibilidades). Se puede extender aun más la idea de bases para espacio de funciones.
NOTA: : Como se menciono en la introducción, estos conceptos de álgebra lineal nos ayudaran para entender las Series de Fourier, las que nos dicen que podemos expresar las funciones periódicas f(t),...