invopi

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Sesión 1.2: Programación Lineal – Modelos Matemáticos con dos Variables

VIDEO: MÉTODO GRÁFICO

OPINIONES:
•
•
•
•
•

¿Cuál es el error del video?
¿Qué muestra la región que une los tres colores (restricciones)?
Rectificando el error del video, ¿Cuál sería la solución del sistema de inecuaciones
lineales (región)? Demostrar.
¿Qué es una regiónfactible?
¿Uds. han visto este método de solución de programación lineal en algún curso
previo a IO?

CASO: EMPRESA PRODUCTORA DE JUGOS
Una empresa produce jugos envasados de granadilla y limón. Para lo cual requiere dos
tipos de materia prima: M1 y M2. La siguiente tabla muestra información relevante.
Toneladas de materia prima usadas para la
producción de una tonelada de:
Jugo de GranadillaJugo de Limón

Disponibilidad
Diaria Máxima
(toneladas)

M1

4

6

24

M2

2

1

6

Utilidad por
tonelada ($)

4 000

5 000

Materia Prima

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de jugos de granadilla no puede
exceder la de jugos de limón en más de una tonelada. Asimismo, que la demanda diaria
máxima de jugos de granadilla es de dos toneladas.PREGUNTAS:
Determinar la combinación óptima de jugos de granadilla y limón que
maximice la utilidad diaria total.

LOGRO DE LA SESIÓN

•

Los estudiantes al finalizar la sesión
tendrán las competencias para formular y
resolver modelos matemáticos lineales
con dos variables utilizando el método
gráfico y software (Excel, Lindo y Lingo)

1. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
SOLUCIÓNDEL CASO:
𝑋1 = 𝑇𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑑𝑖𝑙𝑙𝑎
𝑋2 = 𝑇𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑜𝑛
𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝐼𝑍𝐴𝑅 𝑍 = 4000𝑋1 + 5000𝑋2
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
𝑋1 − 𝑋2 ≤ 1
𝑋1 ≤ 2
𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0
•

Encontrar la región factible del modelo matemático …

2. MÉTODO GRÁFICO
𝑿𝟐

4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24
𝑿𝟏

2. MÉTODO GRÁFICO
𝑿𝟐
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6

4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24𝑿𝟏

2. MÉTODO GRÁFICO
𝑿𝟐
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6

𝑋1 − 𝑋2 ≤ 1

4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24
𝑿𝟏

2. MÉTODO GRÁFICO
𝑿𝟐
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
𝑋1 ≤ 2

𝑋1 − 𝑋2 ≤ 1

4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24
𝑿𝟏

2. MÉTODO GRÁFICO
𝑿𝟐
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
𝑋1 ≤ 2

𝑋1 − 𝑋2 ≤ 1

4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24
𝑿𝟏
𝑋1 ≥ 0
𝑋2 ≥ 0

2. MÉTODO GRÁFICO
𝑿𝟐

Vértice
(𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 )

B

A(0,4)

20 000

B(3/2,3)

21 000
18 000
13 000

E(1,0)

A

0D(2,1)

𝑋1 ≤ 2

O(0,0)

C(2,2)

2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6

Maximizar
𝒁 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑿 𝟏 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝑿 𝟐

4 000

𝑋1 − 𝑋2 ≤ 1
C
D

4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24

O

E

𝑋1 ≥ 0
𝑋2 ≥ 0

𝑿𝟏

2. MÉTODO GRÁFICO
𝑿𝟐

Vértice
(𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 )
B(3/2,3)

2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
𝑋1 ≤ 2

Maximizar
𝒁 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑿 𝟏 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝑿 𝟐
21 000

¿Cuál es la diferencia entre las
Restricciones Activas e Inactivas?

¿Cuál es la diferencia entrelas
Variables Básicas y No Básicas?

A
B

𝑋1 − 𝑋2 ≤ 1
C

4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24

D
O

E

𝑿𝟏

𝑋1 ≥ 0
𝑋2 ≥ 0

𝒁 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑿 𝟏 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝑿 𝟐

𝒁 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑿 𝟏 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝑿 𝟐

2. MÉTODO GRÁFICO
SOLUCIÓN DEL CASO:
•

MODELO MATEMÁTICO (FORMULACIÓN):
𝑋1 = 𝑇𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑑𝑖𝑙𝑙𝑎
𝑋2 = 𝑇𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑜𝑛
𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝐼𝑍𝐴𝑅 𝑍 = 4000𝑋1 +5000𝑋2

𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
𝑋1 − 𝑋2 ≤ 1
𝑋1 ≤ 2
𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0
•

SOLUCIÓN ÓPTIMA:
𝑿 𝟏 = 𝟏. 𝟓 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑑𝑖𝑙𝑙𝑎
𝑿 𝟐 = 𝟑 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑚𝑎𝑛𝑒𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑜𝑛
𝒁 = 𝟐𝟏 𝟎𝟎𝟎 $ 𝑑𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎

3. USO DE SOFTWARE
SOLUCIÓN DEL CASO:
•

MODELO MATEMÁTICO (FORMULACIÓN):
𝑋1 = 𝑇𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑑𝑖𝑙𝑙𝑎
𝑋2 = 𝑇𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑜𝑛
𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝐼𝑍𝐴𝑅 𝑍 = 4000𝑋1 + 5000𝑋2

𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 24
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
𝑋1 − 𝑋2 ≤ 1
𝑋1 ≤ 2
𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0
•

SOFTWARE:
MS EXCEL

LINDO

LINGO

3.1. LINDO
SOLUCIÓN DEL CASO:
•

MODELO MATEMÁTICO (FORMULACIÓN):

•

SOLUCIÓN ÓPTIMA:
𝑿 𝟏 = 𝟏. 𝟓 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑑𝑖𝑙𝑙𝑎
𝑿 𝟐 = 𝟑...