Isomorfismos

Cap´ ıtulo

4 Isomorfismos
4.1 Introducci´n o

En el cap´ ıtulo 1 tuvimos la oportunidad de estudiar una gran cantidad de ejemplos de grupos. Cada uno de ellos estaba formado por elmentos tomados de alg´n conjunto en particular. Por ejemplo hay u grupos cuyos elementos son matrices, otros est´n formados por n´meros a u enteros, otros por simetr´ de una figura plana, . . . , etc. ıas Podemosestudiar estos grupos en abstracto, considerando unica´ mente la forma como se multiplican los elementos. Cuando se construye la tabla de multiplicaci´n de un grupo finito se esta haciendo precisao mente eso: recojer toda la informaci´n posible sobre la operaci´n en el o o grupo, sin prestar atenci´n a la naturaleza misma de los elementos. o Es posible que dos grupos finitos del mismo orden tengantablas de multiplicaci´n diferentes: por ejemplo los enteros m´dulo 4 y el o o grupo 4 de Klein. En el primer grupo hay un elemento de orden 4 y en el segundo todos los elementos son de orden 2. Diremos entonces que estos grupos no tienen la misma forma, o bien que ellos no son isomorfos. El concepto de isomorfismo es fundamental en toda la teor´ de ıa grupos, pues permite unificar una gran cantidad degrupos bajo una misma estructura en abstracto. Cuando se consideran todas las posibles im´genes de un grupo G a bajo los isomorfismos de grupos, aparece el concepto de grupo normal. Estos subgrupos normales de un grupo G, se definen usando el concepto de clases laterales. M´s tarde se establece la conexi´n entre un grupo a o normal y el homomorfismo cociente, cuando se estudien los teoremas deIsomorfismo. 53

54

Cap´ ıtulo 4. Isomorfismos

Se concluye este cap´ ıtulo con una exposici´n del grupo de automoro fismos de un grupo G y se dan algunos ejemplos en casos especiales.

4.2

Grupos Normales

Definici´n 4.2.1 Sea G un grupo. Un subgrupo N de G se dice subo grupo normal de G si y s´lo si o gng −1 ∈ N, para todo g ∈ G, n ∈ N.

Lema 4.2.1 Sea N subgrupo de G. Entonces N es unsubgrupo normal si y s´lo si o gN g −1 = N, para todo g ∈ G. (4.1)

Demostraci´n: Sea N normal. Entonces o gng −1 ∈ N, para todo n.

Luego gN g −1 ⊂ N . En particular g −1 N g ⊂ N, luego N = g(g −1 N g)g −1 ⊂ gN g −1 ⊂ N, y por lo tanto gN g −1 = N . Rec´ ıprocamente, si (??) es cierto, entonces N es normal en G. ♠ Observaci´n: Si G es un grupo abeliano entonces todo subgrupo N o de G esnormal. Por lo tanto la noci´n de normalidad carece de inter´s o e cuando trabajamos con grupos abelianos. Lema 4.2.2 Sea G un grupo y N < G. Entonces N es subgrupo normal de G, si y s´lo si toda clase lateral derecha de G es una clase lateral o izquierda.

4.2. Grupos Normales

55

Demostraci´n: Sea N normal en G. Consideremos la clase lateral o derecha N a. Entonces de acuerdo al lema ?? a−1 Na = N de donde N a = aN . Luego N a es una clase lateral izquierda. Por otra parte, si g ∈ G, afirmamos que gN g −1 = N En efecto, gN es una clase lateral derecha y de acuerdo a la hip´tesis o debe ser una clase lateral izquierda. Pero g = ge ∈ gN y adem´s a g = eg ∈ N g. Luego la unica clase lateral izquierda que contienen a g es N g, y ´ por lo tanto gN = N g, y de aqu´ se obtiene ı gN g −1 = N.♠ Ejemplo 1: Consideremos G = S3 , H = {e, φ}. Calcularemos las clases laterales izquierdas y derechas. Soluci´n: o Hay tres clases laterales pues [G : H] = 6 = 3. 2

Las clases laterales derechas e izquierdas vienen dadas por:

56

Cap´ ıtulo 4. Isomorfismos

H = {e, φ} Hψ = {ψ, φψ} Hψ
2

H = {e, φ} ψH = {ψ, ψφ} ψ 2 H = {ψ 2 ψ 2 φ = φψ}
2

= {ψ φψ }

2

Como la clase lateralderecha Hψ no es igual a otra clase lateral izquierda, se sigue que H no es normal. Ejemplo 2: Sea G = S3 y N = {e, ψ, ψ 2 }. Entonces se puede verificar f´cilmente que H es normal en G, pues hay s´lo dos clases a o laterales derechas a saber, N y φN , las cuales son iguales a las unicas ´ dos clases laterales izquierdas N y N φ.

4.3

Grupo Cociente

Sea G un grupo y N un subgrupo normal de...