jacob

Jacobiano
En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curvapuede ser embebida.

Índice [ocultar]
1 Matriz jacobiana
1.1 Función escalar
1.2 Función vectorial
1.3 Ejemplos
2 Determinante jacobiano
2.1 Ejemplos
2.2 Invertibilidad y jacobiano
3 Véase también
4 Enlaces externos
Matriz jacobiana[editar]
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantesde esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes laaplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera \mathbf{F}:\R^n \to \R^m continua, es decir \mathbf{F} \in \mathcal{C}^{(k)}(\R^n,\R^m) se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal \boldsymbol\lambda \in \mathcal{L}(\R^n,\R^m) talque:

(1)\lim_{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|\to 0}
\frac{ \| (\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{F}(\mathbf{y})) -
\boldsymbol\lambda(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \|}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|} = 0

Función escalar[editar]
Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar \scriptstyle F:\R^n \to \R. En este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con elgradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

\boldsymbol\lambda(\mathbf{x}) := \boldsymbol\nabla F(\mathbf{x}) =
\begin{bmatrix} \cfrac{\part F(\mathbf{x})}{\part x_1} &
\ldots & \cfrac{\part F(\mathbf{x})}{\part x_n} \end{bmatrix}

Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que eneste caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.

Función vectorial[editar]
Supongamos \scriptstyle \mathbf{F}:\R^n \to \R^m es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:

y_i = F_i(x_1,\ldots, x_n), \qquad
\mathbf{y}=\mathbf{F}(\mathbf{x}) =(F_1(\mathbf{x}),\dots,F_m(\mathbf{x}))

Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F:

\begin{bmatrix}
\cfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\cfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partialy_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}

Esta matriz es notada de diversas maneras:

J_\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n), \qquad \mbox{o} \qquad
\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)},
\qquad \mbox{o} \qquad D\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n),
\qquad \mbox{o} \qquad \boldsymbol\nabla\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n)

Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función yi,para i = 1,...,m.

Si p es un punto de Rn y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por JF(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por JF(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:

\mathbf{F}(\mathbf{x}) \approx
\mathbf{F}(\mathbf{p}) + J_\mathbf{F}(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p})

para x cerca de p. O con mayor precisión:...