jacovo

Teorema del cambio de variable (Jacobiano)


* Transformación T y su inversa S:
















* Det. Jacobiano:



* Teorema del Jacobiano:* Aplicación del Teorema para funciones de densidad:

Aplicando el teorema del jacobiano a la integral de una densidad fX, aparece un resultado general de gran aplicación práctica.Obtenemos la densidad fY de un vector Y que es función T de otro vector X, a partir de la densidad fX

Enunciado: Sea X un vector aleatorio continuo con densidad fX .

Sea Y= T (X), donde T es undifeomorfismo; sea S su transformación inversa.

Entonces Y es continua y





Demostración: B k
pY (B) = por ser fY la densidad de Y ;
p Y (B) = p X (S(B)) ,por ser S(B) la contraimagen de B por T,
y pX (S(B)) = = (aplicando el Th. del Jacobiano) = ,
luego = B k

y por tanto, fY (y) = fX (S(y)) | J1 |c.s. c.q.d.

* Conclusión:

Tenemos un procedimiento para calcular directamente la densidad de una nueva v.a. Y=T(X) a partir de la de X:












* Un resultado másgeneral:

Sea X un vector aleatorio continuo k-dimensional con densidad fX .
Sea Y= T(X), donde T:k → k NO es un difeomorfismo porque no es una aplicación 1-1 de SX a SY .
pero… SX sedescompone en r regiones A1 … Ar
cada punto imagen y tiene hasta r antecedentes, x1  A1 , …, xr  Ar
y en cada región Ai , T: Ai→ k SÍ es un difeomorfismo, con inversa Si.
Ejemplo:
Sea T(x,y)= (|x|, |y|)
T no es difeomorfismo, pues no es 1-1:
u > 0, v > 0  T-1 (u,v) = { (u,v), (-u,v), (u,-v), (-u,-v) }
… Pero en cada cuadrante Ci de 2 la aplicación T SÍ que es 1-1 y difeomorfismo.En C1 T(x,y)= (x,y); transf. inversa: S1(u,v)= (u,v) con jacobiano J11
En C2 T(x,y)= (-x,y); “ : S2(u,v)= (-u,v) “ J12
En C3...