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Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE

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8. ESPACIOS VECTORIALES Y
APLICACIONES LINEALES.
8.1. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES.
COMBINACIÓN LINEAL.
EJEMPLO 8.1.
Estudiar si el vector v = (1,0,1,0) de R4 es combinación lineal de los vectores
u 1 = (0,1,2,−1), u 2 = (0,−1,1,0), u 3 = (0,1,0,1) .
Solución.
Este problema se puede resolver de variasformas. La manera clásica consiste en
plantear una ecuación vectorial del tipo
v = au 1 + bu 2 + cu 3
tal que si tiene solución, entonces el vector dado es combinación lineal de los restantes.
Para resolver este problema en DERIVE primero definimos los cuatro vectores
editando las expresiones:
“v:=[1,0,1,0]”, “u1:=[0,1,2,-1]”, “u2:=[0,-1,1,0]” y “u3:=[0,1,0,1]”.

a continuación introducimos laecuación vectorial
que al simplificar nos da
La palabra “false” nos indica que la primera ecuación no tiene solución y, por tanto, el
sistema carece también de solución
Una segunda alternativa de resolución podría ser el estudiar el rango de la matriz
formada por los vectores. Si el rango es cuatro, esto quiere decir que son linealmente
independientes y, por tanto, no existe combinaciónlineal. Esto se puede comprobar
editando la expresión

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

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que al pulsar (enter) o pinchar en Si nos da

EJEMPLO 8.2.
Analizar la dependencia e independencia lineal de los siguientes vectores de R5:
(1,2,-3,5,0), (2,-1,0,6,7), (-3,0,1,1,4), (1,5,-7,3,2)
Solución.
En primer lugar definimos en DERIVE los cuatro vectores:

a continuacióneditamos en Editar(Autor)-Expresión la ecuación vectorial

Por definición de dependencia e independencia lineal, si existe solución no nula entonces
son linealmente dependientes, y si la única solución es la nula son linealmente
independientes. Al simplificar la expresión anterior se obtiene el sistema

y al resolverlo con los comandos Resolver-Sistema de ecuaciones obtenemos

pinchamos en Siy en la siguiente ventana introducimos las ecuaciones, y las variables en
las cuales deseamos resolver el sistema

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE

Pulsando Simplificar se obtiene

Por tanto, estos vectores son linealmente independientes.

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Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

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8.2. SUBESPACIOS VECTORIALES. BASES. COORDENADAS.
EJEMPLO 8.3.Dado el subespacio vectorial de R4
W=L{(1,1,1,1),(1,2,3,0),(5,7,9,3)}
(a) Obtener sus ecuaciones paramétricas y cartesianas.
(b) Hallar una base de W.
(c) Determinar las coordenadas del vector (5,12,19,-2) en dicha base.
Solución.
(a) Editamos previamente los tres vectores que generan el subespacio

ECUACIONES PARAMÉTRICAS.
Las ecuaciones paramétricas del subespacio se pueden obtenerintroduciendo la
ecuación vectorial

Al simplificar se obtienen las ecuaciones paramétricas del subespacio

siendo a,b,c los parámetros con valores reales.
ECUACIONES CARTESIANAS.
Para obtener las ecuaciones cartesianas, necesitamos eliminar los tres parámetros
a,b,c de las ecuaciones anteriores. Si iluminamos la primera ecuación y la resolvemos
utilizando Resolver Algebraicamente respectodel parámetro a

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE

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se tiene

Si ahora sustituimos el valor de “a” por “x-b-5c” en el sistema inicial con la
secuencia Simplificar-Sustituir-Variables

tras simplificar resulta
Obsérvese que la primera ecuación se ha convertido en una identidad. Despejemos
el parámetro b de la segunda ecuación editando la misma y aplicandoResolverAlgebraicamente respecto de b

Si sustituimos en el anterior sistema “b” por “-x+y-2c” con Simplificar-sustituirvariables tras simplificar se obtiene “b-5c”

Obsérvese que directamente se ha anulado el tercer parámetro, por lo que las
ecuaciones cartesianas que nos quedan son:
z=2y-x
t=2x-y
Luego
W = ( x, y , z , t ) ∈ R 4 / z = 2 y − x, t = 2 x − y

{

}

(b) Para hallar una...