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Publicado: 6 de septiembre de 2010
Los números reales
Luis Ángel Zaldívar Cruz 7 de marzo de 2005
1.
El sistema de los números reales1
El sistema de los números reales es un conjunto R y dos operaciones, la adición y la multiplicación, y una relación de orden, denotada por “ −b. Prueba. De acuerdo con el axioma O3, a < b implica que a + (−a) + (−b) < b + (−a) + (−b). Por tanto, −b < −a o equivalentemente, −a > −b.Teorema 10 Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
7
Prueba. Si c < 0, entonces, por el teorema 9 y el problema 1 de los Ejercicios 1 (−0 = 0) tenemos que −c > 0. De donde, por el axioma O4: a(−c) < b(−c). Según el corolario 1 esto es equivalente a −ac < −bc. Aplicando los teoremas 9 y 3, tenemos −(−ac) > −(−bc) y ac > bc.
Teorema 11 Si a = 0, entonces a2 > 0. 6 Prueba. Si a 6= 0, entonces a > 0 oa < 0. Si a > 0, entonces a · a > 0 · a según el axioma O4 y, por tanto, a2 > 0, según el teorema 1 (0 · a = 0). Si a < 0, entonces a · a > 0 · a según el teorema 10 y, por tanto, a2 > 0. Como 1 6= 0 y 1 = 12 , el teorema 11 demuestra que 1 > 0. Utilizando el teorema 8 y el hecho de que 2 = 1 + 1, concluimos que 2 > 0. De esta manera podemos ver que todos los enteros positivos son números realespositivos. De este hecho y el teorema 9, se deduce que todos los enteros negativos son números reales negativos. Teorema 12 Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d, entonces ac < bd. (La expresión 0 ≤ a < b significa que 0 ≤ a y a < b.) Prueba. Como b > 0 y c < d, bc < bd según el axioma O4. Consideremos ahora dos casos: c > 0 y c = 0. 1. Si c > 0, entonces, como a < b, ac < bc según el axioma O4. Utilizando elaxioma O2, concluimos que ac < bd. 2. Si c = 0, entonces ac = 0 = bc. Luego ac < bd.
Teorema 13 Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab > 0. Si a y b son de diferente signo, entonces ab < 0. (Esta es la regla de los signos para la multiplicación.) Teorema 14 a−1 tiene el mismo signo que a. Teorema 15 Si a y b tienen el mismo signo y a < b, entonces a−1 > b−1 . 8
Teorema 16 Si a ≥ 0 y b ≥0, entonces a2 > b2 si y sólo si a > b. Ejemplo 6 Resolver la desigualdad 3x + 5 > x − 3. Solución. 3x + 5 > ⇐⇒ ⇐⇒ x − 3 ⇐⇒ 3x + 5 − x − 5 > x − 3 − x − 5 2x > −8 x > −4.
Así, la solución de esta desigualdad es el conjunto de todos los números mayores que −4. √ √ Teorema 17 Si b ≥ 0, entonces a2 > b si y sólo si a > b o a < − b. √ Prueba. Si a ≥ 0, entonces, según el teorema 16, a2 > b = ( b)2si y sólo √ si a > b. Si a 0,√ aplicando el teorema 16, tenemos 0, y (−a)2 = a2 > b =√ b)2 si y sólo si −a > b. Es decir, si a < 0, entonces a2 > b ( si y sólo si a < − b. √ √ Teorema 18 Si b > 0, entonces a2 < b si y sólo si − b < a < b. Prueba. La prueba es análoga a la prueba del teorema 17. Ejemplo 7 Resuelva la desigualdad 2x2 + x − 6 > 0. Solución. 2x2 + x − 6 > ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ (x + 1 )2 > 49 416 x+ 1 > 7 o x+ 4 4 x > 3 o x < −2. 2 0 ⇐⇒ x2 + 1 x − 3 > 0 2
1 4
< −7 4
La solución de la desigualdad es el conjunto de todos los números que son mayores que 3 o menores que −2. 2 Ejemplo 8 Encuentre el mínimo número M con la propiedad de que 2 + 6x − 3x2 ≤ M para todo x ∈ R. Solución. 2 + 6x − 3x2 = 2 − 3(x2 − 2x) = 2 − 3(x2 − 2x + 1) + 3 = 5 − 3(x − 1)2 .
Para todo x ∈ R
y, como laigualdad se verifica cuando x = 1, el mínimo M entre tales números es 5. 9
5 − 3(x − 1)2 ≤ 5
1.3.1.
Ejercicios 3
1. Pruebe los siguientes teoremas: 13, 14, 15 y 16. 2. Si a es un número real distinto de cero, demuestre que a y −a son de signo diferente. 3. Pruebe: si a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces ab ≥ 0. 4. Pruebe: si a ≥ 0 y b < 0, entonces ab ≤ 0. 5. Pruebe: si a ≤ c y b ≤ d, entonces a +b ≤ c + d. 6. Pruebe que a < b si y sólo si b − a > 0. 7. Pruebe que a < b si y sólo si existe un número positivo c tal que a + c = b. 8. Resuelva las siguientes desigualdades lineales: a) x + 5 > 2 b) −3x + 1 < 2x + 5. c) 11x − 7 ≤ 4x + 2. 9. Pruebe: si a > 1, entonces a2 > a, y si 0 < a < 1, entonces a2 < a. 10. Resuelva las siguientes desigualdades cuadráticas: a) x2 − 5x + 6 < 0. c) x2 − 4x...
Luis Ángel Zaldívar Cruz 7 de marzo de 2005
1.
El sistema de los números reales1
El sistema de los números reales es un conjunto R y dos operaciones, la adición y la multiplicación, y una relación de orden, denotada por “ −b. Prueba. De acuerdo con el axioma O3, a < b implica que a + (−a) + (−b) < b + (−a) + (−b). Por tanto, −b < −a o equivalentemente, −a > −b.Teorema 10 Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
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Prueba. Si c < 0, entonces, por el teorema 9 y el problema 1 de los Ejercicios 1 (−0 = 0) tenemos que −c > 0. De donde, por el axioma O4: a(−c) < b(−c). Según el corolario 1 esto es equivalente a −ac < −bc. Aplicando los teoremas 9 y 3, tenemos −(−ac) > −(−bc) y ac > bc.
Teorema 11 Si a = 0, entonces a2 > 0. 6 Prueba. Si a 6= 0, entonces a > 0 oa < 0. Si a > 0, entonces a · a > 0 · a según el axioma O4 y, por tanto, a2 > 0, según el teorema 1 (0 · a = 0). Si a < 0, entonces a · a > 0 · a según el teorema 10 y, por tanto, a2 > 0. Como 1 6= 0 y 1 = 12 , el teorema 11 demuestra que 1 > 0. Utilizando el teorema 8 y el hecho de que 2 = 1 + 1, concluimos que 2 > 0. De esta manera podemos ver que todos los enteros positivos son números realespositivos. De este hecho y el teorema 9, se deduce que todos los enteros negativos son números reales negativos. Teorema 12 Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d, entonces ac < bd. (La expresión 0 ≤ a < b significa que 0 ≤ a y a < b.) Prueba. Como b > 0 y c < d, bc < bd según el axioma O4. Consideremos ahora dos casos: c > 0 y c = 0. 1. Si c > 0, entonces, como a < b, ac < bc según el axioma O4. Utilizando elaxioma O2, concluimos que ac < bd. 2. Si c = 0, entonces ac = 0 = bc. Luego ac < bd.
Teorema 13 Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab > 0. Si a y b son de diferente signo, entonces ab < 0. (Esta es la regla de los signos para la multiplicación.) Teorema 14 a−1 tiene el mismo signo que a. Teorema 15 Si a y b tienen el mismo signo y a < b, entonces a−1 > b−1 . 8
Teorema 16 Si a ≥ 0 y b ≥0, entonces a2 > b2 si y sólo si a > b. Ejemplo 6 Resolver la desigualdad 3x + 5 > x − 3. Solución. 3x + 5 > ⇐⇒ ⇐⇒ x − 3 ⇐⇒ 3x + 5 − x − 5 > x − 3 − x − 5 2x > −8 x > −4.
Así, la solución de esta desigualdad es el conjunto de todos los números mayores que −4. √ √ Teorema 17 Si b ≥ 0, entonces a2 > b si y sólo si a > b o a < − b. √ Prueba. Si a ≥ 0, entonces, según el teorema 16, a2 > b = ( b)2si y sólo √ si a > b. Si a 0,√ aplicando el teorema 16, tenemos 0, y (−a)2 = a2 > b =√ b)2 si y sólo si −a > b. Es decir, si a < 0, entonces a2 > b ( si y sólo si a < − b. √ √ Teorema 18 Si b > 0, entonces a2 < b si y sólo si − b < a < b. Prueba. La prueba es análoga a la prueba del teorema 17. Ejemplo 7 Resuelva la desigualdad 2x2 + x − 6 > 0. Solución. 2x2 + x − 6 > ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ (x + 1 )2 > 49 416 x+ 1 > 7 o x+ 4 4 x > 3 o x < −2. 2 0 ⇐⇒ x2 + 1 x − 3 > 0 2
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< −7 4
La solución de la desigualdad es el conjunto de todos los números que son mayores que 3 o menores que −2. 2 Ejemplo 8 Encuentre el mínimo número M con la propiedad de que 2 + 6x − 3x2 ≤ M para todo x ∈ R. Solución. 2 + 6x − 3x2 = 2 − 3(x2 − 2x) = 2 − 3(x2 − 2x + 1) + 3 = 5 − 3(x − 1)2 .
Para todo x ∈ R
y, como laigualdad se verifica cuando x = 1, el mínimo M entre tales números es 5. 9
5 − 3(x − 1)2 ≤ 5
1.3.1.
Ejercicios 3
1. Pruebe los siguientes teoremas: 13, 14, 15 y 16. 2. Si a es un número real distinto de cero, demuestre que a y −a son de signo diferente. 3. Pruebe: si a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces ab ≥ 0. 4. Pruebe: si a ≥ 0 y b < 0, entonces ab ≤ 0. 5. Pruebe: si a ≤ c y b ≤ d, entonces a +b ≤ c + d. 6. Pruebe que a < b si y sólo si b − a > 0. 7. Pruebe que a < b si y sólo si existe un número positivo c tal que a + c = b. 8. Resuelva las siguientes desigualdades lineales: a) x + 5 > 2 b) −3x + 1 < 2x + 5. c) 11x − 7 ≤ 4x + 2. 9. Pruebe: si a > 1, entonces a2 > a, y si 0 < a < 1, entonces a2 < a. 10. Resuelva las siguientes desigualdades cuadráticas: a) x2 − 5x + 6 < 0. c) x2 − 4x...
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