Jorge Luis Chinchilla

´
VIII FESTIVAL INTERNACIONAL DE MATEMATICA
7 al 9 de junio de 2012. Sede Chorotega, Universidad Nacional, Liberia, Costa Rica

N´
umeros complejos y resoluci´
on de ecuaciones
algebraicas de grados arbitrarios (2, 3)
Jorge Luis Chinchilla Valverde
Instituto Tecnol´ogico de Costa Rica
jochinchilla@itcr.ac.cr
Norberto Oviedo Ugalde
Universidad de Costa Rica
noviedo2008@hotmail.com

El surgimientode los n´
umeros
Al hablar de los primeros pasos de la matem´atica, es necesario especificar que las matem´aticas
tempranas requer´ıan de una base pr´actica para su desarrollo, esa base se present´o paralelo
a formas de desarrollo en la sociedad que las formularon. Tal situaci´on aparece en ciudades
´
que se establecieron a lo largo de grandes r´ıos en Africa
como en Asia, donde nuevas formas
´
´de sociedades hicieron su aparici´on: el Nilo en Africa, el Tigris y Eufrates
en el oeste de Asia,
el Ind´
us y luego el Ganges en el centro-sur de Asia, y el Hwang Ho y luego el Yangtze en el
este de Asia.
De esta forma, se puede decir que estas matem´aticas tempranas se originaron en ciertas ´areas
del antiguo Oriente principalmente como una ciencia pr´actica para ayudar en actividades deagricultura e ingenier´ıa.
Estas actividades requer´ıan de computar un calendario u
´til, desarrollo de sistemas de peso y
medidas que sirvieran en la cosecha, almacenamiento y reparto de alimentos, la creaci´on de
m´etodos de agrimensura para el canal y construcci´on de dep´ositos, la parcelaci´on de la tierra,
y la evoluci´on de pr´acticas financieras y comerciales para aumentar y recolectar impuestosy
para prop´ositos comerciales.
La historia de las matem´aticas empieza con la invenci´on de s´ımbolos escritos para denotar
n´
umeros. Sin ellos, la civilizaci´on como la conocemos ahora no podr´ıa existir.
De acuerdo con lo anterior, tenemos que en casi todas las civilizaciones hist´oricas se ha
desarrollado alg´
un tipo de sistema de numeraci´on, es decir, una aritm´etica que involucra a loque conocemos como n´
umeros naturales. En el campo de los naturales, al sumar dos n´
umeros
cualesquiera siempre obtenemos otro natural. Sin embargo, esto no se cumple con la resta,
pues si por ejemplo se resta tres menos cinco el resultado no es un n´
umero natural. Esta
situaci´on en muchas ocasiones constituye una forma de ense˜
nar los n´
umeros enteros, que en
la mayor´ıa de los contextos sedice que son los naturales m´as el cero y los n´
umeros negativos,
y que permiten la operaci´on de resta.
Siguiendo esta secuencia, se sabe que los n´
umeros racionales hacen posible la operaci´on de
divisi´on, e inclusive podemos decir que es por la misma necesidad de dividir cinco entre tres.

Sin embargo, los n´
umeros racionales, lo que se les llama com´
unmente las fracciones, est´an lejos
decompletar toda la recta num´erica puesto que entre dos n´
umeros racionales cualesquiera,
hay una cantidad de “huecos” vac´ıos descomunales. De ah´ı que hacen su entrada los n´
umeros
irracionales, que son los que no se pueden escribir como una fracci´on, como por ejemplo la
ra´ız cuadrada de dos o el simp´atico n´
umero π. La uni´on de los racionales con los irracionales
dan los n´
umeros realesy hasta ah´ı, llenamos la recta num´erica.
La introducci´on de los n´
umeros imaginarios es una fase delicada del programa de educaci´on
particularmente en secundaria. En nuestro contexto educativo nacional los alumnos han confirmado con frecuencia la imposibilidad de extraer la ra´ız cuadrada a los n´
umeros negativos;
no obstante, cuando a estos mismos alumnos se les pide resolver,
por ejemplo,x2 + 1 = 0
√
deben aceptar la presencia de un nuevo objeto, el s´ımbolo “ −1”, al cual, la calculadora
simplemente le asigna la denominaci´on i, situaci´on que no puede dejar de causarles cierta
incertidumbre.
Es claro que dicha situaci´on constituye una fuente de inseguridad en el pensamiento de
muchos estudiantes, quienes por lo regular deben utilizar un objeto matem´atico, que antes
hab´ıan...